Казна и казнить. Почему у этих слов один корень?

Слова действительно однокоренные.
КАЗна от КАЗать, то, что кажут либо для бахвальства либо для проверки.
КАЗнь -- опять же, то, что КАЖут, устраивают для поКАЗательности.

Никаких монголо-арабо-персидских влияний, всё русское. Это потом "хазина" пошло по свету гулять.
Там же и слово "каска", от "казать", то, что кажут, надев на голову.

КАЗНА
Древнерусское – казна.
Татарское – xazna.
Впервые в памятниках письменности встречается в XIV в. и имеет значение «имущество, кладовая» . В древнерусский язык слово пришло из языков азиатских народов (скорее всего, татар) , где оно употреблялось в значении «сокровищница» . Государственная казна – место, где находятся государственные финансы, собираемые посредством налогов.
Производные: казначей, казенный.
КАЗНЬ
Старославянское – казнь (распоряжение, наказание) .
В древнерусский язык слово пришло из старославянского. Возможно, слово родственно глаголу «каяться» . Слово встречается в памятниках, датируемых X в. Первоначальное значение существительного было несколько иным: «кара, сопровождающаяся мучениями».

Русское слово "казна" восходит к арабскому слову "хазне" - хранилище, сокровищница, от хазана - запасать, хранить, а непосредственно было заимствовано в XII-XIV веках из половецкого языка.
КАЗНЬ. Заимств. из ст. -сл. яз. , где казнь — суф. производное (ср. болезнь, боязнь и т. п. ) от исчезнувшего кати «наказывать» , той же основы, что и каяться

По тому, что кто находится у казны редко умирал своей смертью)))

ничего общего эти слова не имеют. совпадение букв в корне ещё ничего не говорит о совпадении значений.