Фамилия Варава склоняется?

если она у мужчины - склоняется
если у женщине - то нет.
Пример:
"я позвонил Васе Вараве". Но: "позвонил Тане Варава".

Нужно просто знать правило:

Окуджава, Глоба, Щерба, Вайда, Пихоя, Берия. Мужские и женские фамилии на -а, -я неударное склоняются (Павла Глобы, о Джейн Фонде, с Анной Пихоей, о Берии) .
Это правило для фамилий не только на -а, но и на -я. И не только после согласных, но и после гласных.

А вот конкретно для нашего случая:

Все фамилии, кончающиеся на неударное А ПОСЛЕ СОГЛАСНЫХ, склоняются по первому склонению: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т. д. ; так же склоняются Кафка, Спиноза, Сметана, Петрарка, Куросава, Глинка, Дейнека, Гулыга, Олеша, Нагнибеда и др. Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание -а.

Варавы, Вараве и т. д.

да, склоняется.. . не только в истории...

Варрава происходит от евреиского Бар Рабин. Сын раввина. Вот и склоняйте.

Склоняется, если это фамилия мужчины

если это фамилия мужчины, то склоняется. а если такая фамилия у женщины, то нет.
им. п. (кто? ) Максим Варава, Марина Варава
род. п. (кого? ) Максима Варравы, Марины Варава
дат. п. (кому? ) Макксиму Вараве, Марине Варава
вин. п. (кого? ) Максима Вараву, Марину Варава
тв. п. (кем? с кем? ) с Максимом Варавой, с Мариной Варава
предл. п. (о ком? ) о Максиме Вараве, о Марине Вараве

нет

да