А почему говорят "Луна в первой четверти"? Мы же видим половину Луны? Логичнее было бы "Луна в первой половине"

Стоп. И ХДЕ это ты видел ПОЛОВИНУ-то - а? ПОЧТИ половину видно тока во время полнолуния.
А строго половину - тока во время лунного ЗАТМЕНИЯ: -)
Видна-то только освещённая часть :-)

Лунных фаз четыре: первая четверть, полнолуние, последняя четверть, новолуние. Каждая фаза составляет одну четверть по времени от полного цикла.

..а 3-ю и 4-ю четверть после полнолуния как назовете.. ведь 1-я и 2-я фаза когда она растет от Новолуния до Полнолуния, а 3-я и 4-я убывающая.. все логично

Имеется в виду ВЕСЬ цикл.

Когда говорят "Луна в первой четверти", то имеют в виду не саму Луну, а фазы, или четверти, лунного месяца, т. е. периоды полного цикла изменения видимого диска Луны.
В конце первой фазы, или четверти, мы видим половину диска Луны. В конце второй фазы - полную Луну. Затем наступает период убывания видимого лунного диска. В конце третьей фазы, или в конце третьей четверти, видима только половина Луны. А в конце четвёртой четверти - Луна вся невидима, т. к. оказывается в тени Земли и не освещается солнечным светом.

Первая четверть - до четвертинки, вторая - до полной луны, третья - до четвертинки на убывающей луне, третья - до новолуния. Т. е. видим полную луну, когда закончится вторая четверть - видим две четвертинки ))) И не видим оборотную сторону Луны )))