Peter, did you remember ...the door? You are so absent-minded. to lock<····· правильный ответ locking lock

Did you remember (while) locking the door - ты вспомнил пока закрывал дверь на замок?
Did you remember to lock the door - ты не забыл закрыть дверь на замок?

to lock
Глагол -remember- требует после себя употребления или инфинитива, или герундия. НО значения будут разные!
С инфинитивом - Ты не забыл (сделать то-то и то-то...? )
С герундием - Ты помнишь, что... ?
For instance:
Do you remember meeting her at the party?
Do you remember to book the tickets?

ТО lock - закрыть, закрывать (инфинитив)
ты не забыл ЗАКРЫТЬ дверь?

Предъявляешь инфинитивную конструкцию, а хочешь использовать герундий, Иногда это возможно, но не в данном случае

Peter, did you remember to lock the door? You are so absent-minded. - Питер, ты не забыл закрыть дверь (дословно - ты вспомнил, что надо закрыть дверь) ? Ты такой рассеянный.

remember to do something - помнить о том, что надо сделать что-то перед тем, как сделать
I remembered to lock the door. - Я не забыл закрыть дверь (= помнил, что нужно закрыть дверь и закрыл ее) .
remember doing something - помнить о том, что делал после выполнения действия
I remember locking the door. - Я помню, что закрыл дверь. (= я закрыл дверь и сейчас помню об этом).

потому что здесь не патисипл.

Здесь общий вопрос в прошедшем времени, другого варинта не может быть .

Времена не совпадают.
Do you remember closing the door? OK "Ты помнишь как закрывал дверь? "
Do you remeber to close the door? OK "Ты не забываешь закрывать дверь? "
Did you remeber to close the door? OK "Ты не забыл закрыть дверь? "
Помнить можно только то, что уже было.
Питера спрашивают (в настоящем, сейчас) , помнил ли он тогда (прошлое) , как закрывал дверь (действие еще дальше в прошлом)
Для того чтобы прыгнуть 2 раза в прошлое используется Past Perfect (это тот что с have [done] / having [done])
Поэтому, предложение могло бы выглядеть так
Did you remember having locked the door?

imho