Часто слышу выражение "Под эгидой" того или этого, а что значит эта самая - эгида?

Эгида - это щит (греческая мифология)

Эги́да или эги́д (греч. αἰγίς, αἰγίδος, «буря, вихрь» ) — щит Зевса, по некоторым преданиям, сделанный Гефестом из шкуры мифической козы Амалтеи; считалось, что этим щитом Зевс вздымает грозные бури.
Иногда эгида придавалась в качестве атрибута также Аполлону и Афине. «Быть под эгидой» кого-либо — находиться под чьим-либо покровительством или защитой.
ru.wikipedia.org

Толкование слова эгида: под эгидой : 1) под защитой, покровительством чего-н. Под эгидой закона; 2) под руководством, будучи подчиненным кому-чему-н. Действовать подэгидой наблюдателей.

Толкование слова эгида: под эгидой : 1) под защитой, покровительством чего-н. Под эгидой закона; 2) под руководством, будучи подчиненным кому-чему-н. Действовать подэгидой наблюдателей.
Эги́да или эги́д (греч. αἰγίς, αἰγίδος, «буря, вихрь» ) — щит Зевса, по некоторым преданиям, сделанный Гефестом из шкуры мифической козы Амалтеи; считалось, что этим щитом Зевс вздымает грозные бури. В центре щита была прикреплена отрубленная голова горгоны Медузы. Эгиох (др. -греч. αἰγίοχος, букв. «носящий эгиду» ) — Щитодержец, один из эпитетов Зевса.

Эги́да или эги́д (греч. αἰγίς, αἰγίδος, «буря, вихрь» ) — щит Зевса, по некоторым преданиям, сделанный Гефестом из шкуры мифической козы Амалтеи; считалось, что этим щитом Зевс вздымает грозные бури. В центре щита была прикреплена отрубленная голова горгоны Медузы. Эгиох (др. -греч. αἰγίοχος, букв. «носящий эгиду» ) — Щитодержец, один из эпитетов Зевса.

Иногда эгида придавалась в качестве атрибута также Аполлону и Афине.