Почему "правописание гласных"?

Потому что это калька с греческого, и "право" + "писание"означает "ПРАВИЛЬНОЕ НАПИСАНИЕ".
В русском языке существуют два слова для выражения одного и того же понятия: система правил написания слов языка, помимо правописания, называется еще и орфографией. Дело в том, что слово правописание – калька греческого orthographia, в котором orthos – "правильный", а graphia образовано от grapho – "пишу". Но русский язык не ограничился одним калькированием – он еще и позаимствовал греческое слово.
http://www.slovopedia.com/25/207/1651466.html
Не забывайте и о нашем преисполненном непомерной гордыни "ПРАВОславии", или "ОРТОдоксии" Это ведь тоже "(единственно) правильное восхваление" Бога. И "орто" коррелирует с "орфо", потому что Ортодоксия – (от греч. orthos – прямой, правильный и doxa – мнение) , «правильная» система взглядов, фиксированная авторитетными инстанциями религиозной общины и обязательная для всех членов этой общины; правоверие, согласие с учениями, проповедуемыми церковью.
И в "орфографии" то же самое:
орфогра́фия
Из греч. ὀρθογραφία, сближенного в отношении ударения с лат. orthographia.

А для чего тогда право? (не сторона, а система)

Потому что как правило гласные безударные ставят в тупик при произношении не ясно какую букву надо писать А или О, И или Е и т. д.
"Правописание" не от в право или в лево, а от правильно или не правильно.
Вообще то и левописание бывает, это когда левой рукой пишут...

Правописание, то есть выбор между какими то буквами. От слова право, а не право или лево.