Как правильно сказать по-английски "Я пишу диссертацию", "Я учусь в аспирантуре"

I am postgraduate student (i am doing post-graduate studies after university(college)degree. I am working on a master's(doctoral) degree dissertation(thesis).
Можно сказать проще: I am working on a master's degree или
I am working on doctoral degree.
master - кандидат наук
doctor(Phd) - профессор.
Отсюда ясно что Вы учитесь в аспирантуре и пишите диссертацию.

I am writing my PhD thesis.
I am a postgraduate student.

Алекс Мишин все правильно написал. У них после института у них есть только одна диссертация (она и кандидатская, она же и докторская) . Поэтому наш кандидат наук (всех наук, не только философских) по-английски переводят как PhD.

Masters - это Магитрская степень
PhD - аналог кандидата наук
Сильно хотите подчеркнуть что кто-то доктор, а кто-кто кандидат -
пишите для кандидата PhD (Doctor of Philosophy), а для доктора DSc (Doctor of Science).

Те же вещи. которые со званиями профессора и доцента. Русскоязычная публика почему-то выскопарно оценивает слово профессор, хотя c латыни - это всего лишь преподаватель и скажем, обыкновенного учителя в испанском языке могут называть profesor.
Хотите подчеркнуть, что профессор - это профессор по званию - скажите, что он full professor
доцент - associate professor.
И сейчас прямо покороблю ваше сознание, но иной раз ассистента можно перевести как assistant professor, но я знаю, что некоторые будут против, поэтому teaching assistant.