как правильно пишется по-прежнему? я правильно написала, а то мама спорит, говорит что без дефиса

Без полного текста ответить нельзя!
Поезда ходят по прежнему расписанию – У нас всё по-прежнему

Не путайте наречия и наречные местоимения (пишутся через дефис) с омонимичными сочетаниями предлогов с прилагательными и местоимениями-прилагательными (пишутся раздельно) . Для того чтобы их разграничить, используйте следующее правило: прилагательное и местоимение-прилагательное можно изъять из предложения; с наречием эта операция невозможна.

Зависит от того, прилагательное это или наречие.
Мы идём по прежнему пути. Всё по-прежнему.

ому-ему, цки-ски -с этими суффиксами пишется через дефис
мама ошиблась

мама права-как-по прежнему...

мама права

Правильно с дефисом.

в предложении "у нас все по-прежнему" , по-прежнему пишется согласно правилу : в наречиях при наличии приставки по- и суффиксов -ому, -ему - пиши через дефис.

Если в смысле "как и раньше", то пишется с дефисом. Пример:
"Ничего не изменилось, я по-прежнему хорошо учусь".
Если отвечает на вопрос "по какому? " - "по прежнему" пишется раздельно.
Пример: "Сейчас это уже не тот вокзал, все стало другим, не как прежде. Я ходила по прежнему вокзалу с удовольствием, разглядывала туристов, а сейчас все стало серым и словно холодным".
Разница ясна?

Ты правильно написала.

по-прежнему, через дефис.

Через дефис. Не иначе

Курган же с высокой главою,
Где витязь могучий зарыт,
Еще не сровнялся с землею,
По-прежнему гордо стоит;
в предложении "у нас все по-прежнему" , по-прежнему пишется согласно правилу : в наречиях при наличии приставки по- и суффиксов -ому, -ему - пиши через дефис. Если в смысле "как и раньше", то пишется с дефисом. Пример:
"Ничего не изменилось, я по-прежнему хорошо учусь".
Если отвечает на вопрос "по какому? " - "по прежнему" пишется раздельно.
Пример: "Сейчас это уже не тот вокзал, все стало другим, не как прежде. Я ходила по прежнему вокзалу с удовольствием, разглядывала туристов, а сейчас все стало серым и словно холодным".
Разница ясна?