Не могу нигде найти перевод английских слов Backyard и sofa-side,может кто знает?

Backyard это задний двор
Backyard and sofa-side "breeders" это непрофессиональные производители. те, кто разводит кошек и собак без лицензии, ну типа на своём заднем дворе или на диване) )
непрофессиональные производители теряют интерес к своим кошкам, когда они понимают, что от них нет никакой прибыли, только убытки.

Качественный перевод не ищут, его делают. Вам не нужны отдельные значения этих слов (вы и сами не знаете, что надо смотреть в словаре, если находите там существительные) , нужен смысл, который они дают в предложении в качестве определения - заводчики КАКИЕ . Смысл нужно извлекать самостоятельно из контекста и самостоятельно подыскивать ему адекватный перевод, никакой словарь за вас это не сделает. Хотя какие-то подсказки он дать может:
back-yard 1) местный 2) частный 3) особый - back-yard production.

Не обязательно перевод будет укладываться в одно слово, не обязательно он будет отражать только лексический смысл (потому что в данном случае важна неодобрительная оценка) , но обязательно иметь собственный широкий репертуар синонимов.
Можно сказать частные, мелкие, доморощенные, недобросовестные заводчики, безо всякого заднего двора и дивана, и всего этого в словаре не написано.

Backyard- задний двор.
Sofa-side- диван.

Занимающиеся разведением у себя на заднем дворе или на диване (буквально: возле дивана, рядом с диваном) , теряют интерес к своим кошкам, когда начинают понимать, что (от такого разведения; таких кошек) нет никакой выгоды, а только убытки

"Рассадники кошек", задний двор и сторона дивана, потеряли интерес к ним (своим кошкам) , когда осознали, что от них нет никакой выгоды, лишь одни убытки.

В данном случае насколько я понимаю, тут имеется ввиду место, где кошки чаще всего собираются, место тусовки и т. п. И данное предложение написано в таком ключе. будто-бы этот двор и диван - одушевленные предметы.
Например, вот так иногда пишут: "Море рассердилось на рыбаков и поглотила волною их лодку". Имхо тут - по такому же принципу.