Почему тренИровка, а не тренЕровка? Ведь проверочное слово тренер.. . Верно?

Морфемно-орфографический словарь:

тре́н/ер/
трен/ир/о́в/к/а

Проверочными словами проверяются безударные гласные В КОРНЕ. Корень в ТРЕНировке - трен- а не тренир-.
Поэтому словом трЕнер можно проверить только первую Е в трЕнировке

- ----

Большой толковый словарь:

тренер – от англ. Trainer

Так же как и учЕник и учИтель.

-ирова- --это суффикс, при помощи которого в настоящее время в русский язык входит большинство заимствованных глаголов, то есть с основой, производной от иностранного слова. Сам суффикс не русский, а заимствован из немецкого языка, это суффикс -ieren-.

Если быть более точным, среди филологов существует некоторое расхождение во мнениях относительно того, является ли это одним суффиксом или двумя -иров- и -а-. Это происходит оттого, что в существительных, образованных от таких глаголов употребляется суффикс -иров-, например "проект-иров-щик", "блок-иров-к-а".

Однако, в отличие от глаголов, которые проявляют такое единодушие, заимствованные существительные образуются огромным количеством разных способов, среди которых есть и суффикс -ер, например, "трен-ер", "адапт-ер", "продюс-ер". Суффикс -ер, естественно, тоже не русский, он обозначает принадлежность к профессии или классу.

Использовать проверочные слова в таких ситуациях, действительно, нельзя, можно попасть впросак. Дело в том, что это суффиксы, а не корни, и при этом пришедшие иногда из разных языков. Самым известным примером являются слова "аккомпан-емент" и "аккомпан-ирова-ть", "абон-емент" и "абон-ирова-ть". Секрет в том, что суффикс -емент- пришел из фрацузского языка, а суффикс -ирова- из немецкого. Просто надо знать, как эти суффиксы пишутся и все, никаких проверочных слов.

А тренинг? Чем плохо это проверочное слово с англицким налетом?

Тренир...

тут корень трен. так что тренер вовсе не проверочное слово.

От слова Тренинг, а не тренер

тренировка от слова тренировать

trainer ~ тренер, training ~ тренинг, тренировка (окончания -er, -ing)