Почему в этом предложении употреблено объектное местоимение, а не субъектное?

Потому что he здесь - подлежащее. В смысле: "Будь он богатым или бедным..." (более литературно: "будь то богатый или бедный...")

Какая-то у вас каша с местоимениями: he - личное местоимение в именительном падеже, подлежащее; be - сказуемое в сослагательном наклонении (Subjunctive Mood). По другому можно было бы сказать weather he were, но тогда было бы нагромождение weather, if.
Перевод. Но если бы кто-то, будь он богатый или бедный, хозяин или слуга, ступил на зыбкую почву...

Все объясниения выше абсолютно верные.
Попробую внести свои 5 копеек, более простым языком.
Не знаю, что вы УЖЕ знаете о местоимениях, поэтому не обижайтесь если говорю прописные истины.
В английском местоимения в предложениях могут быть Subject или Object . Subject - это то кто совершает действие или является чем то кем то . Это абсолютный аналог русского Именительного падежа.
"Я - пионер, бойцам в ответ сказал мальчишка взяв пакет"
Object - это местоимение (или существительное, но "щас не об этом) во ВСЕХ других падежах : мне, для меня, обо мне, мной, итд.
Это каверзное правило, БОЛЬШИНСТВО англоязычных людей его не соблюдают и говорят my father and me went hunting , но это безграмотно, звучит как "ихний". Конечно здесь охотитьс пошли Я и мой отец, то есть мы выступили в роли Subject, именительного падежа.
Абсолютно НЕ важно какое наклонение, subjunctive, не subjunctive - не заморачивайтесь! Дуйте только: местоимение - ПОДЛЕЖАЩИЕ? Кто? Совершает действие ("являтся, быть" - тоже действие !!!"Тварь ли Я дрожащая ? ") или НЕТ?
Если ДА - субъектное местоимение I, we, you, he, she, it, they
Во ВСЕХ остальных случаях - объектное местоимение (то есть в других падежах, кому, от кого, о ком, итд ) me, us, you (на вид такое жа точно как в субъектной форме), him, her, it, them.
В вашем вопросе четко рядом с местоимением глагол to be. Даже не важно в какой глагол форме, ясно что он относится к местоимением, то есть местоимение "является" и поэтому местоимение - Subject и только HE, а вот то ЧЕМ или КЕМ оно является - уже Object, например:
You are not him! he is not you!
Первое You - subject, второе You - object

Вот такая языковая кутерьма... Моя твоя не понимать ;)