родительный или винительный падеж?

Антон - одушевлённое имя собственное. Все одушевлённые имена собственные и нарицательные второго склонения принимают окончание -а или -я в винительном падеже. Антон - Антона, гость - гостя. Вот вам и винительный падеж.

1 склонение:
Р. П. В. П.
мамы -- маму

2 склонение:
Р. П. В. П.
моста -- мост
слона -- слона
Антона -- Антона

3 склонение:
Р. П. В. П.
броши -- брошь
мыши -- мышь

Мышины машины - Р. П. , а также И. П. мн. ч.,  мышину машину - В. П.

Родительный падеж - Кого, Чего? Винительный падеж - Кого, Что? Собственные имена в винительном падеже не склоняются  

Прочитайте про склонения существительных. Вы почему-то рассматриваете в качестве примера только первое склонения. Когда есть еще второе и третье.

В древнерусском языке форма винительного падежа одушевленных существительных совпадала с формой винительного падежа неодушевленных существительных.

В Ипатьевской летописи (простите за искаженное написание) :
"Всегда мь жалоуете на Литвоу, осе же вы дал есмь рать и воеводу с ними Мамъшъя, пойдете же с ним НА ВОРОГИ своЪ".
Здесь же можно привести в качестве примера устойчивое словосочетание "(выходить) замуж" (не "замужа").

Этимологически это можно объяснить тем, что древний индоевропейский показатель формы винительного падежа ед. ч. "-н" не дал носового гласного, слившись с гласным основы -ъ у существительных мужского рода, а, видимо, просто отпал (в отличие от сущ. с основой на -а, у которых показатель винительного падежа "-н" слился с -а и дал носовой гласный у, обозначаемый буквой юс большой) . Поэтому, в древнерусском языке говорили "за руку" (где оба "у" носовые) , но "за мужъ".

Появление в русском языке особой формы винительного падежа у одушевленных существительных (в форме ед. числа у сущ. мужского рода, в форме мн. ч. у сущ. мужского и женского рода) -- достаточно позднее явление.

Из статьи "Кодификация грамматических вариантов и логический процесс" С. Л. Попова:

"Логично прогрессировала категория одушевленности (вижу стол, но вижу брата, сестер, а не вижу брат, сёстры) : вначале, в «Русской правде» (11-й век) , одушевленными были названия только свободных мужчин, с 12-го века по 14-й век одушевленными становятся названия всех взрослых мужчин, с 15-го века «одушевляются» названия женщин, с конца 17-го – детей и животных. В северных говорах животные и сейчас не всегда одушевляются: пасу коровы, гоню овцы. "

Здесь окончание нулевое, может в этом подвох. Это у вас задание такое? Что-то мне тоже интересно стало?