Как правильно: не надо вешать нос или носА?

Да все равно. Оба варианта верны.

Не вешай нос! Не вешай носа! Равноценны.
Никогда не надо вешать нос. Я бы выбрал этот вариант, но и другой не ошибка.

О. Вспомним Пушкина. Один критик, рассмотрев строчку "Два века ссорить не хочу", решил, что это ошибка, что надо "двух веков".
Пушкин ответил примерно так. "Я не пишу стихов. Но: я не хочу писать стихи, я не способен писать стихи. Я не могу ему позволить начать писать стихи -- неужто частица НЕ управляет глаголом "писать"?"

Так и у вас. Не вешать нос, не вешать носа. Но: не надо вешать нос -- так лучше. Частица НЕ управляет словом НАДО, а не ВЕШАТЬ.

А в родительном? А можно и в дательном не дать носу повиснуть.. . И. т. д. Всё от контекста.

Лучше: Не вешай нос!

§201. Падеж дополнения при переходных глаголах с отрицанием

Винительный падеж, ослабляющий значение отрицания, обычно употребляется в следующих случаях:
1) при указании на конкретный объект («именно этот предмет, а не вообще какой-то» ) [...]
5) в побудительных предложениях (со сказуемым в форме повелительного наклонения) , в связи с их разговорным характером.

Литературное редактирование текста. Розенталь Д. Э. и др.
evartist.narod.ru/text1/66.htm

Хоть это и фразеологизм, оба правила очень кстати. Имеется в виду (хоть и в переносном значении) не любой нос, а именно того, к кому обращаются. Держи голову выше! Смотри веселее! А сказуемое в форме императива.

Не вешать (кого? что? ) - нос.
Существительное "нос" в винительном падеже форму не меняет.