как будет правильно транслитом Имя Алексей, или как на их лад это слово написать? Aleksey или Alexey???

Aleksei, Aleksey

Как хотите. Это не регламентируется. А эсперанто тут ни при чем. И почему это его "везде поймут"?

Например, ГОСТ Р 52535.1-2006 устанавливает общие требования к заграничному паспорту гражданина Российской Федерации. В «Приложении А» стандарта отображена таблица
транслитерации, которую следует использовать при передаче имён и фамилий.

Чащё всего можно такое встретить:
Alexei. В частности наши музыканты на зарубежных изданиях всегда так подписаны.
Но в принципе можно написать Alexey, Aleksey и даже Alex. Ошибки не будет.
Тут ещё нужно учитывать куда и для чего Вы пишите имя. Если в каких-нибудь важных докаментах, то лучше решить как будешь писать, и дальше записываться так всегда - чтобы не было разночтений.

Однозначного ответа на данный вопрос, пожалуй, нет. Но могу подсказать следующее: Существуют определенные нормы транслитерации в паспортно - визовой службе (в т. ч. при оформлении загран. паспорта) , их, пожалуй, и следует придерживаться. Иными словами, берете свой загран. паспорт и смотрите, как именно Вас в нем обозвали (Хи - хи!) . Я, сам неплохо владея иностранными языками, был весьма удивлен, прочитав свое имя в этом документе: всю жизнь (30 лет) пользовался другой транслитерацией, и тут - "получи, фашист, гранату! ". Впрочем, по мне - так хоть горшком, лишь бы не в печь...

Aleksej. Так на эсперанто, а его везде поймут.

Alexey.