как правильно - Кашей или Кощей?

Допускаются оба варианта. Но современные словари рекомендуют писать Кощей:

По одной гипотезе, писать следует Кощей – от кошт, кость, “костлявый”. Еще Кощея можно связать с глаголом костенеть – замерзать, затвердевать, впадать в оцепенение: «Кощей – похититель красной девицы-солнца, олицетворяет собой зимние тучи, из-за которых земля костенеет, цепенеет, замерзает». Под действием кощеевых козней герои сказок превращаются в камень, дерево, лед – окостеневают. Отсюда же русское "кощун", "колдун", "кощуны творить".

По другой гипотезе, писать следует Кащей – от касть – костить или костерить (бранить). Интересно, что славянское “костить” означает не просто “поносить, хулить”, но и “портить, наносить вред”. Между прочим, такой смысл сохранился и в слове “пакость” – причиненный кому-либо умышленный вред. Действительно, во всех сказках этот старый скряга только и делает, что “костит” — творит пакости положительным героям.

Кашель

И все-таки как правильно пишется имя злодея по фамилии Бессмертный – Кащей или Кощей?

Многие из исследователей древнерусского языка считают что слово «Кощей» было позаимствовано древними славянами из тюркского языка.
На тюркском оно означало «раб» или «пленник». Рабы и пленники были полуголодными, очень истощенными, костлявыми.
Значит у слова Кощей корень тот же, что и у слова «кость». Поэтому имя товарища Бессмертного правильно писать через букву «О» — Кощей, а не Кащей.

Кащей. Я его только что спросил.

Ка

Кощей

Кащей