Почему перед bed не ставится артикль? Will he be sleeping in bed from 5 to 8 tomorrow?

так принято

They had dinner and went to bed.

Потому что bed здесь - не конкретный предмет мебели, а абстрактное понятие, место, где спят или отдыхают. Есть такие существительные в английском языке, которые в подобных случаях употребляются без артикля. Среди них school, college, university, town, home, church, hospital, prison, jail, work.
To go to bed = to go to sleep.
To be in hospital = to be ill.
To go to school = to study.
To be in jail = to be imprisoned for something.
Вот еще пример: Grandma had a heart attack and is in hospital. We went to the hospital to see her yesterday. - У бабушки был сердечный приступ, она лежит в больнице (т. е. болеет и проходит лечение в медицинском учреждении - артикль не нужен). Вчера мы ездили в больницу навестить ее (в конкретную больницу, где лежит бабушка, - артикль нужен).

Потому-что be неопределённый глагол.

Funnypepper верно говорит, но на начальном этапе сложно определить, где речь идет о конкретной мебели, а где - о месте, где спят и отдыхают. Поэтому есть список таких словосочетаний, которые можно выучить, чтобы меньше заморачивать себе голову.

to/at/in/from school/university/college
to/at/in/into/from church
to/in/into/out of bed/prison
to/in/into/out of hospital (BrE)
to/at/from work

Можно по ссылке посмотреть остальные, чтоб тут не загромождать, и там еще есть примеры, когда the нужен.