Тихой сапой или тихим сапом?

ТИХОЙ САПОЙ. Разг. Ирон. Исподтишка, скрытно, незаметно (действовать, добиваться чего-либо). — Проводил-таки [Галю]? Ну и как, Никитин? — подозрительно спросил Гранатуров. — Силён, силён, мушкетёр! Тихой сапой действуешь? — Не понял, — сказал Никитин. — Проводил до калитки и немного подышал свежим воздухом (Ю. Бондарев. Берег). И задумал Коля новую баню рубить. Усмехались мужики, бабы советовали плотника нанять. Но Коля не послушался. Тихой сапой выписал лесу, делянку Коле отвели в сосняке и сруб разрешили ставить (Ал. Иванов. Коля — сто грамм). ТИХИМ САПОМ. Прост. Обл. Ну а если уж припрут к стенке и не отвертеться — начинается молчаливая, длительная осада, измором, тихим сапом чушанцы добиваются своего: что надо обойти — обойдут, чего захотят добыть — добудут, кого надо выжить — выживут (В. Астафьев. Царь-рыба). — От военного термина сапа: «подкоп или ров к позиции неприятеля, который делался скрытно, тихо, незаметно, обычно при осале крепости для подрыва её стен» (от итал. zappa — мотыга). Лит.: Толковый словарь русского языка / Под редакцией проф. Д. Н. Ушакова.

Сапа - старинное слово, означает "подкоп". Раньше потихоньку, чтобы враг не услышал, подкапывались под крепостные стены при осаде. Отсюда и выражение.

А "сап" - это болезнь лошадей. Совсем ни при чём.

Выражение «действовать „тихой сапой“», которое означает: крадучись, медленно, незаметно идти, проникать куда-нибудь, первоначально подразумевало: скрытно произвести подкоп, выкопать потайной туннель. Отсюда и произошло слово " Сапёры".Сапа (от фр. sape — мотыга) — способ отрытия траншеи, рва или тоннеля для приближения к укреплениям противника. Применялся в XVI—XIX веках.

1

Сапа - женский род. означает "окоп". Отсюда же "сапер"