Научите обращаться с деепричастными оборотами! Какие из этих предложений грамотны? ЛИЧНОЕ мнение.

3. убить автора.
4. запятая не нужна.
6. запятая не нужна.

остальное, ок.

"потребуется добавлять витамины, делая это очень аккуратно" - не очень хорошо звучит, но можно так сказать
"светало, нежно озаряя края горизонта" - безграмотно!
"это делалось, исполняя все инструкции" - безграмотно!
"делать это надо, не глядя на настроение" - без запятой возможно
"глядя на такое, возникает вопрос" - безграмотно!
"несмотря на лечение, состояние ухудшалось" - возможно, здесь нет деепричастного оборота

Правильно 1, 4, 6.
Попытаюсь объяснить, почему (своими словами, потому что в теоретической грамматике совсем не силен).
Используя деепричастный оборот, всегда надо соблюдать некое согласование с другой частью предложения. А именно: достаточно четко должно просматриваться СОВПАДЕНИЕ субъектов, которые фигурируют в этих двух частях предложения. Поясню на примере:
1. "Подъезжая к станции, я вспомнил, что забыл дома шляпу" (правильно)
2. "Подъезжая к станции, у меня слетела шляпа" (неправильно)
3. "Подъезжая к станции, у меня ветром унесло шляпу". (неправильно)
В первом случае в обоих частях сложного предложения фигурирует субъект Я (в деепричастном обороте в неявной форме, во второй части - в явной).
Во втором случае субъекты разные - Я и шляпа. Или же придется считать, что это Шляпа подъезжала )). Тогда будет правильно - но только с точки зрения грамматики, но не здравого смысла.
В третьем случае субъекты разные - Я и Некто, кто с помощью ветра унес шляпу.
Переходим к вашим фразам.
"Потребуется добавлять витамины, делая это очень аккуратно" - субъект один и тот же, правда, это придется домыслить.
"Светало, нежно озаряя края горизонта". "Светало" - это особая, безличная форма предложения. А "нежно озаряя" - в неявной форме говорится об утреннем солнце. Налицо несогласование. Правильно бы выглядело, например, так: "Из-за горы выглянуло солнце, нежно озаряя... и т. д.".
"Это делалось, исполняя все инструкции" - Выглядит сомнительно, хотя, вроде бы, не хуже, чем фраза про витамины. Но безусловно правильно будет так: "Мы делали это, исполняя все инструкции". Или "Это делалось при соблюдении всех инструкций" (т. е. вообще без деепричастия).
"Делать это надо, не глядя на настроение" - из той же серии, что с витаминами.
"Глядя на такое, возникает вопрос" - субъекты совершенно разные: некто (кто глядит) - и вопрос (который возникает). Исправить можно так: "Глядя на такое, мы (он, она и т. п.) задаемся вопросом..." или даже так: "Глядя на такое, задаешь себе вопрос..."

Вот сейчас увидел ответ специалиста-лингвиста (А. Петровой). Коротко и ясно. Ну ладно, свой корявый ответ оставлю без изменений.

Какое может быть личное мнение насчет грамотности/неграмотности? Есть конкретные правила русского языка. Может быть личное мнение насчет звучит/не звучит, но не насчет грамотно/неграмотно.

1. можно так сказать
2. безграмотно (в безличных предложениях нет субъекта действия, поэтому в них нельзя употреблять деепричастный оборот; исключение - когда сказуемое выражено инфинитивом)
3. безграмотно (действие в основной части предложения и в деепричастном обороте должно выполнять одно лицо/предмет; а у вас делалось - это, а инструкции выполняло - не это)
4. запятая не нужна, т. к. в данном случае "не глядя на" - составной предлог. Деепричастного оборота здесь нет. В целом звучит не очень, я бы употребила предлог "невзирая на"
5. безграмотно (причина та же, что и в 3; в основной части предложения у вас действие выполняет вопрос, а в деепричастном обороте - не он, так говорить нельзя, действие должно выполнять одно и то же лицо/предмет)
6. здесь опять же нет деепричастного оборота, а есть составной предлог несмотря на (вас даже не смутило, что несмотря написано слитно, а не с деепричастиями раздельно пишется?)