Как переводится "member of the group visiting Moscow for the week"?

Причастие в английском языке не имеет категории времени, поэтому его перевод будет зависеть от глагола-сказуемого. Participle 1 (форма Simple) обозначает одновременное действие с действием, выраженным сказуемым предложения. Например:
I see a boy reding a bok. - Я вижу мальчика, читающего книгу. (= который читает книгу. Потому что глагол see стоит в форме настоящего времени.)
I saw a boy reading a book. - Я видел мальчика, читавшего книгу. ( = который читал книгу (тогда, когда я его увидел). Потому что глагол see стоит в форме прошедшего времени - saw/)
Поэтому информацию о "времени" действия, выраженным причастием, несёт основной глагол, глагол-сказуемое. Ваше предложение малоинформативно, потому что глагол стоит в форме повелительного наклонения, а в повелительном наклонении нет "времён". Надо смотреть на всю ситуацию, на контекст. Но в целом ГРУППА - какая? - посещающая (сейчас) или посещавшая (тогда).
Неделя стоит с определённым артиклем, то есть скорее всего речь об этой неделе. Полагаю, человек пишет блог, например, и делится впечатлениями о поездке, в которой сейчас находится.
Вас приветствует член группы, которая приехала в Москву на неделю (и сейчас они в Москве.) Но возможны варианты.

представитель группы, находившейся в Москве неделю
Герундий употребляется для выражения прошлого действия или события

Думаю, что visiting относится к слову group, т. е. смысл такой:
член группы, которая находится в Москве в течение недели.
В прошедшем времени было бы, наверное, ..group that has been visiting.
А в будущем - .group that is going to visit

Скорее просто "член группы, которая в Москве на неделю". Предложение сокращено, не очень понятно

Посещающей, речь о группе.