Слова "муза" и "музыка" имеют общее происхождение?

Да, "музыка" происходит в том числе от слова "муза".

Хотя существует ряд гипотез о происхождении музыки – мифического, философского и научного характера. Процесс формирования музыки отразила античная мифология. Мифы повествуют о греческих богах, которые и сотворили мусикийские искусства, девять Муз (Муза - Музыка) , помощниц бога красоты и покровителя музыки Аполлона, равных которому в игре на лире не было. В Древней Греции возникла легенда о Пане и прекрасной нимфе Сиринге. В ней объясняется рождение многоствольной свистковой флейты (флейты Пана) , встречающейся у многих народов мира. Бог Пан, имевший козлиный облик, погнавшись за прекрасной нимфой, потерял ее у берега реки и вырезал сладкозвучную свирель из прибрежного тростника, который зазвучал удивительным образом. В этот самый тростник была превращена богами испугавшаяся его прекрасная Сиринга. Другой древнегреческий миф рассказывает об Орфее, прекрасном певце, покорившем злых фурий, которые пропустили его в царство теней Аид. Известно, что своим пением и игрой на лире (кифаре) Орфей мог оживлять камни и деревья. Музыкой и танцем отличались также праздничные свиты бога Диониса. В музыкальной иконографии присутствует немало дионисийских сцен, где наряду с вином и явствами в его окружении изображены играющие на музыкальных инструментах.

да, музыка происходит от слова музы
Му́зыка (греч. Μουσική от μούσα — муза) — разновидность искусства, воплощающая идейно-эмоциональное содержание в звуковых художественных образах. http://ru.wikipedia.org/wiki/Музыка

Музы (греч. Μοῦσα — мыслящие) — в древнегреческой мифологии [1] дочери бога Зевса и титаниды Мнемосины, живущие на Парнасе богини — покровительницы наук, поэзии и искусств. Упомянуты в «Илиаде» и «Одиссее» (XXIV 60, сказано, что их девять) . Большинство называет их дочерьми Зевса и Мнемосины [2] (либо дочерьми Гармонии [3]).
http://ru.wikipedia.org/wiki/Муза