Правильно ли назвать семейство: "семья Ковальчуков" (от Ковальчук); "семья Знарков" (от Знарок); и т. п. (см. пояснение)?

Склонять фамилию, если она склоняется.
Если нет — соответственно, нет.
Правила склонения фамилий, например, тут: http://gramota.ru/class/istiny/istiny_8_familii/

Думаю, что "семья Ковальчук", а можно "Ковальчук и его семья".
"Семья Уборевичей"; "семья Миклухо-Маклай" ...

На практике можно встретить оба варианта: "семья Ковальчук" и "семья Ковальчуков". Строгих правил по настоящему нет и быть не может, поскольку речь идет об имени собственном.
В этом случае на первый план выходит речевой этикет, то есть вопрос желательно согласовать неосредственно с Ковальчук (или Ковальчуком). В устной речи не стоит забывать об ударении, которое не всегда очевидно, когда речь идет об иностранцах.

Могу привести пример из практики, когда пришлось встречать американца по фамилии Gitomir. Было совершенно непонятно как правильно произносить данную фамилию, пришлось спросить прямо. Ответ оказадся не совсем ожиданными: "Житомир. Это город, в котором жила наша семья до революции".

В данном случае я бы большой осторожностью пользовался справочниками, по причинам, которые указал выше.
Таким

Родительный падеж русского языка.

Семья кого? Ковальчуков.

Cемья Ковальчуков.
_________________
Как семья Ковальчуков наживается на жителях Подмосковья.
Традиции семьи Ковальчуков....

У Д. Э. Розенталя с соавт. в Справочнике по правописанию, произношению и литературному редактированию (1999) есть рекомендации по написанию фамилий ИНОСТРАННОГО происхождения, относящихся к двум или нескольким лицам. При слове "семья" иностранная фамилия ЧАЩЕ ставится в единственном числе (т. е. авторы допускают и множественное):
http://www.evartist.narod.ru/text1/57.htm (§ 151, п. 10)

Никаких специальных оговорок, касающихся РУССКИХ и ВОСТОЧНОСЛАВЯНСКИХ фамилий, авторы не делают, из чего следует, что сочетания "семья Ковальчуков" или "семья Уборевичей" мы образуем по тому же принципу, что и "семья Ивановых", т. е. по модели "семья + род. п. мн. ч. фамилии". Полагаю, что это касается и РУССКИХ фамилий НЕСЛАВЯНСКОГО происхождения, поскольку такие формы сплошь и рядом встречаются в литературном языке:

"Бедная, бедная семья Герценов! За что, почему этим необыкновенным людям выпали такие поистине нечеловеческие испытания?" (И. Чайковская, "Зуб шамана", "Нева", 2009, N9)

"Семья Блоков временно оставила в стороне размолвки и сплотилась перед новой бедой" (М. Куропаткина, "Тайны смертей русских поэтов", 2017)

К сожалению (или к счастью, кому как), далеко не все явления языка регулируются жёсткими исчерпывающими правилами. Даже в морфологии вы найдёте массу исключений из правил, а образование именных сочетаний с участием различных фамилий - это уже сфера синтаксиса и стилистики. Здесь многое зависит от языковой культуры человека. Справочные пособия не дадут вам рекомендаций на все случаи жизни. При наличии сомнений приходится обращаться к текстам, написанным грамотными носителями языка.

Не знаю точно, может быть, не совсем правильно, но я думаю так: если есть слово "семья" - то фамилия не склоняется, а склоняется само слово "семья".
Семья Ковальчук - Ковальчуки.
Также я придерживаюсь правила: мужская фамилия - склоняется: женская - нет.
У Олега Знарка - У Ольги Знарок.

Раньше не склоняли, а теперь принято склонять. И это правильно.

"семья Коваальчука" и "семья Знарка".