Как правильно перевести фамилию с украинского: Гордійко - на русский: ГордИйко или ГордЕйко?

Как уже верно заметили выше, иностранные фамилии не переводятся, а транслитерируются, т. е. передаются с другого языка на русский с учётом особенностей русской орфографии.

В вашем случае существенно, что вы урождённая Гордейко, а в Гордiйко по паспорту превратились при транслитерации фамилии с русского на украинский. Что можно понять, поскольку этимологически фамилия Гордейко - производное от имени Гордей, которое на украинском пишется как Гордiй.

При обратной транслитерации на русский правильно будет восстановить исходную форму, т. е. "Гордейко", вновь отступая от фонетического принципа, теперь уже в обратную сторону. Иначе в русском написании это будет уже по сути новая фамилия. Если вы согласны с этим, то далее остаются проблемы уже не лингвистического, а бюрократического плана. Тогда при визите к нотариусу возьмите с собой свидетельство о рождении, и чётко объясните свою позицию, если нужно, написав соответствующее заявление.

Гордийко

С точки зрения нотариального перевода нужно руководстоваться на действующий документ, то есть паспорт. Понятно, что свидетельство о рождении никто не отменял, но по свидетельству о рождении в таком возрасте никто не продаст билет на самолет.

Если владелец документа не согласен с таким написанием фамилии, то он должен нотариально заверить конфликт правописаний. Проще говоря, получить юридическу справку, что данное лицо согласно или нет с написанием его фамилии на опредленном языке. Кстати, наличие такой справки не лишне. Вам могут выдать бумажку искарежив фамилию, а вы не знаете как поступать в таком случае. Нет, ребята перепишите вашу бумажку так, чтобы она носила форму документа.

Что вы переводите? А Пушкин - Гарматный?

фамилии не переводятся !
Гордийко

Если Мiкола звучит как Мыкола, то и Гордiйко будет Гордыйко.