Баррель - существительное, род мужской, 2 склонение.
Ко второму склонению относятся существительные среднего рода, оканчивающиеся на О или Е (окно, окончание, счастье), а также - существительные мужского рода БЕЗ ОКОНЧАНИЯ (отец, день, баррель).
То, что некоторые существительные женского рода оканчиваются на мягкий знак - правда. Но они относятся к третьему склонению.
P.S.
Если мои картинки "проявятся" (в чём сомневаюсь), то всё станет понятно. Единственное, мне когда-то пришлось заменить все русские надписи английскими. Думаю, это не станет проблемой, всё интуитивно ясно.


Баррели - множ. число.
Второе склонение сущ-ных во множ. числе в родительном падеже (баррелей) имеет окончания:
-ов,
-ев,
-ей,
(без окончания).
Как видите, всё правильно.