У слов "брод" и "Бродвей" один общий корень?

Нет. Бродвей — название, появившееся в иностранном языке

Сами-то как думаете? Могут у русского и английского слова быть общие корни, исходя из сходного звучания? Нет. То, что вы делаете, этим покойный сатирик Задорнов славился, это называется "наивная этимология", берем два слова из абсолютно разных языков, звучат одинаково - значит произошли от одного слова. На деле в 90% случаев это не так. Ну а в данном случае, т. к. я знаю и английский, и русский языки, то вот что я скажу:

1. Брод. Брод происходит от праслав. *brodъ, от кот. в числе прочего произошли: укр. брід, белор. брод, польск. bród, чешск. brod, словацк. brod, болг. брод, сербск. брод, словенск. bród, от праслав. *bredti, от кот. в числе прочего произошли: русск. -церк. -слав. бредѫ, брести, непрѣбрьдомъ «непроходимый», русск. брести́, укр. бреду́, брести́, словенск. brédem, brésti «иду в брод», brȇst «брод», чешск. bředu, břísti, польск. brnąć «идти вброд, идти через грязь, топь» из *brьdnǫti. Родственно лит. bredù, bridaũ, brìsti «идти вброд», brýdau, brýdoti «стоять в воде», алб. breth «прыгаю», прош. вр. brodha (из. *brēd-).
2. Теперь Бродвей - Broadway. Broad - (произн. брод). Old English brad "wide, not narrow," also "flat, open, extended," from Proto-Germanic *braidi- which is of unknown origin.Not found outside Germanic languages."
Мой перевод - "Broad - от староанглийского brad "широкий, не узкий", а также "плоский, открытый, расширенный" от прото-германского braidi, как переводится это слово, никто не знает. Не встречается вне германских языков",

Итак, в итоге получили два слова - одно слово "стоять в воде", "идти через грязь, воду", а другое -"плоский, расширенный, широкий". Broadway - это дословно "широкий путь",

Безусловно, бродвей - производное от русского брести, которое в английском трансформировалось в широкую дорогу