Грамотно ли по-русски говорят "Лучше перебдеть, чем недоблеть"? Есть ли в русском языке такой глагол "бдеть"?

https://academic.ru/searchall.php?SWord=Бдеть&from=xx&to=ru&did=&stype=

Бдеть — 1. Не спать; бодрствовать. 2. перен. Неусыпно следить, наблюдать за кем либо или за чем либо; быть настороже. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …
—————
Но есть у меня ощущение, что авторы шутки не знали о существовании этого слова. И логика у них была такая: раз каждый русский знает слово "бдительный", значит поймет и что такое "бдить", "бдеть".
А значит поймет и "недобдеть", и "перебдеть"

Да, это есть и грамотно.
Просто несколько книжно.

Это модная выдумка трепачей на телевидении. Вы же придумываете всякие заграничные словечки в сети?

в русском языке есть
в вашем словарном наборе скорее всего нет

На чём остановились - "недобдеть" или "недоблеть"?

Вольная трактовка пословицы береженого Бог бережет.
Разные варианты от бдить (быть бдительным) до бздеть (пукнуть)

есть "бдить"
Но "бдеть" - смешнее звучит.

"бдеть" глагол имеется, хотя и из исчезающих/редко используемых, в начальной форме встречается редко. Чаще встречается его склонение "бдит"- бодорствует, следит, остаётся внимательным

И многие русские каузативные глаголы являются, исторически или даже синхронно, каузативами медиальных, ср. бдеть — будить, висеть — повесить, гнить — гноить, задохнуться — задушить, кипеть — кипятить, коптеть — коптить, лежать — (по) ложить, липнуть (ср. прильнуть) — лепить, мокнуть — мочить, ослабнуть — ослабить, плыть — плавить, погибнуть — погубить, погрязнуть — погрузить, пылать — палить, расти — растить, рухнуть — рушить, сидеть — (по) садить, * смясти (ср. смятение) — смутить, сохнуть — сушить, спать — усыпить, стоять — (по) ставить, стыть — студить, (у) тонуть — (у) топить, умереть — уморить и др.

Е. В. Падучева. Каузативный глагол и декаузатив в русском языке (2001).
===========

Ну, там спать днем, не спать ночью. Или бдеть трое суток подряд и наоборот.

И. А. Бродский. Мрамор (1982).
==============

То есть, бдеть -- это, буквально, не спать; а недобдеть -- проспать.

Есть такое слово, поговорка валидная

насчет "бдеть" не знаю, но "бздеть" точно есть.