Допустимо ли "проследовать" в значении "войти"? "Он проследовал на кухню".

"Проследовать" фиксируется в словаре Ожегова как устаревшее. Раньше в классической литературе его гораздо чаще употребляли. (Например: "Шествие носильщиков, горничной и доктора проследовало в дамскую комнату, вызывая любопытство и уважение всех присутствующих". Л. Толстой, Воскресение. "В щегольском фаэтоне четвериком проследовало начальство, блистая орденами и эполетами". Эртель, Гарденины. "[Полковник] стоял возле машины, пропуская ---свои части. Проследовал понтонный батальон, потом самоходная артиллерия". Казакевич, Весна на Одере).
Сейчас это слово больше ассоциируется с официальным и торжественным тоном. И в Вашем контексте оно может оказаться неуместным.

Можно - в ироничном смысле.
В обычном - пошел.

Допустимо.
"Он проследовал на кухню, не сняв пальто, мокрое от дождя, сел за стол и грозно посмотрел на жену".

Вполне можно. Для разнообразия.

>> "Он проследовал на кухню"

Да чего уж там — жги сразу: «прокурсировал дефилируя». По мне так лучше: протащился на кухню.

Зависит от стиля и контекста.

Не совсем синонимы. Проследовать подразумевает продвижение по некому маршруту с прибытием в конечную точку. Войти - значит пересечь порог, независимо от того, как долго ты перед ним стоял.
Тут зависит от контекста и воображаемого местоположения условного наблюдателя (автора или читателя строк).
Я жарил картошку и в кухню заявился дед. Тут только "вошел".
Участковый открыл дверь в квартиру и, не заходя в комнаты, сразу двинулся на кухню. Тут подойдет только "проследовал".

Если он прошел куда-то за кем-то, а не сам по-себе.

вошел будет правильней