Вот говорят: "Мещанин, мещанин". А каким словом называется не мещанин?

От контекста зависит. Некогда "мещанин" означало социальный круг: горожане недворянского звания.
Также мещанами называли малообразованных, непросвещённых людей с крайне узким общественным и идейным кругозором, лишённых интересов и представлений, выходящих за пределы насущных бытовых потребностей.
После отмены сословности это слово осталось в этой своей второй ипостаси.

Соответственно не мещанин - это просто-напросто нормальный, образованный, просвещённый, культурный человек, принимающий свою личную ответственность за состояние общества и работающий в меру своих сил для улучшения этого состояния.
Гражданский активист, видимо.
Те самые люди, которых нынешние полит-начальники клеймят и шельмуют бузотерами, смутьянами, иностранными агентами и пятой колонной.

Дворянин живёт в царском дворе, местчанин (мещанин) - в местечке (городке), крестьянин (окрестьянин) - в окрестностях городка, хуторянин (утырканый) - на хуторе. Окрестность - территория вокруг церкви, откуда виден её крест (для этого крест ставили повыше, чтобы больше был приход и богаче поп).

Где-то давно читала- мещане это те, кто уверен, что у них должно быть всё хорошо)

Мещанин это горожанин, в противоположность крестьянину, дворянину. Он же бюргер, он же буржуа...

Попы есть

В Российской Империи люди делились на сословия:

1) дворянcтво
2) христианское духовенство
3) городские обыватели
4) сельские обыватели (крестьянство).

Городские обыватели делились на:

1) почётные граждане
2) купечество
3) мещане
4) ремесленники или цеховые
5) рабочие.

В Российской империи до 1917 года, мещане -- это низший разряд городских обывателей. Мещане несли рекрутскую повинность, могли подвергаться телесным наказаниям.

Антоним к слову мещанин -- благородный.

Купец, дворянин, крестьянин, почётный гражданин...