Вот говорят "хай" в смысле пусть будет и "хаять" в смысле ругать. Есть ли тут этимологическая связь?

Хай = нехай - на украинском означает "Пусть", но с разным оттенком: "хай" - 100% утверждающее слово (напр. "Хай живе Украiна!") , а у слова "нехай" - оттенок несогласия или отмашки (по типу "нехай роблять, що вважають запотрiбним") . На английском, немецком и других языках "хай" означает дружеское приветствие. На русском же "хай" означает крики и вопли обвинения. Совершенно разные значения слов изначально. Так бывает - что одни и те же слова имеют разные значения в разных языках и их нельзя считать родственными. В турецком, например есть слово "дурак", означающее "остановка" (автобусная или стоянка такси), - очевидно, что это слово не имеет ничего общего с русским "дураком", так же, как и слово "хаят", означающее "жизнь", со словом "хаять". Но в турецком же языке имеется слово "хаин" - что означает "предатель", "коварный человек" - и это уже ближе к русскому слову "хаить" - то есть, называть плохим, ругать. Очевидно, что происхождение слов "хай" и "хаить" - различно, а значит, они не могут быть однокоренными или родственными. "Хаить" пришло из тюркских языков и к славянскому "хай" не имеет отношения.

мы не амерекосы, так не говорят люди

Нехай будет (связь).

Да, "хай" - добро (даю добро, хай будет), и "хай" - ум, рассудок, жизненный опыт, характер, сила, мощь. Хаять - не скандал устраивать, а расставлять всё на свои места, пользуясь всем перечисленным. "В чём сила, брат?"

hi

"хай" в смысле "пусть" можно найти полный вариант в украинском "нехай" и в белорусском "няхай", в польском ещё "нех" ну короче понятно, да. то есть "не хай", "не трогай, не заботься" типа. а "хаить" там долгая сложная этимология от слов типа "поносить, ругать". а есть ли связь, думаю, совпадение просто

Нет, hi(хай) с английского привет

Так русский и английский даже в разных родах состоят.