"The boy sounded so SILLY that all the children burst out laughing" Слово SILLY является прилагательным или наречием?

Потому что sounded silly - составное именное сказуемое, где sounded - глагол-связка.

Проверка: The boy was so SILLY
Глаголы-связки
Глаголы, указывающие, чем или каким является подлежащее, выражающие существование некоторого качества, либо состояние, характерное для подлежащего (be, feel, smell, taste, go, lie, look, seem, make, mean, stand, sound, stay…); глаголы, обозначающие сохранение состояния и качества субъекта (remain, continue, hold, keep, rest…); глаголы, обозначающие изменение состояния или качества (become, come, fall, get, go, grow, make, turn…).
Их объектом является существительное или прилагательное, но не наречие.
Для проверки, является ли глагол связкой, следует заменить его на глагол to be. Если предложение сохраняет основной смысл, это – глагол-связка.
The meal grew cold (is cold). Еда остыла. The plant grew fast (action). Цветок быстро рос. The T-shirt looked dirty (was dirty). Футболка выглядела грязной. She looked at him angrily (action). Она сердито смотрела на него. Rita seems happy (is happy). Рита выглядит счастливой. Spencer was our captain. Спенсер был нашим капитаном. The cake tastes delicious (is delicious). У торта великолепный вкус. She carefully tasted the cake (action). Она осторожно попробовала пирог. He became blind at the age of four (was blind). Он ослеп в возрасте четырёх лет. He was a clever guy. Он был умным парнем. It sounds nice (is nice). Звучит прекрасно. He stayed silent (was silent). Он оставался молчащим. The house is regularly painted every spring. Дом регулярно красят каждую весну. (действие. Страдательный залог). The house is painted blue. (is blue – состояние. Глагол-связка).
Могут иметь вспомогательные глаголы: can, may, should, will, have, might…
Практика использования прилагательного вместо наречия нередко распространяется и на другие глаголы, когда нет воздействия одного объекта на другой. He behaved strange. (He was strange). Love me tender, love me sweet..

Есть глаголы, после которых нужно использовать прилагательные, а не наречия.
Есть случаи, когда возможны оба варианта, но смысл при этом меняется.
https://www.bbc.co.uk/worldservice/learningenglish/flatmates/episode72/languagepoint.shtml
зы silly - прилагательное, несмотря на -ly

это и adj (прилагательное) и adv (наречие). Часть речи определяется по контексту предложения.

Наречие наверное
Ly же
Хотя наверное можно и так и так перевести