какие есть языковые группы и сколько их?

Языковых групп больше восмисот (точное число назвать нельзя, разные ученые по-разному оценивают принадлежность живых и "мертвых" языков
к разным группам, а также по-разному объединяют эти языки в группы)
Например, русский язык входит в славянскую языковую группу, которая включает польский, сербско-хорватский, украинский, лужичанский, русинский, чешский и т. д.
Английский входит в германскую группу: немецкий, нидердландский, шведский, исландский и т. д.
Таджикский - иранская группа: персидский (фарси) , пушту (афганистан) , белуджи, наши родные осетины и др.
Тюркская группа - турки, айзербаджанцы, казахи, узбеки, шорцы, тувинцы, якуты, гагаузы, наши своенравные татары, карачаевцы, ногайцы, кумыки и многие другие (не могу
всех перечислить, надеюсь, не обидятся)
Адыгская группа - черкесы, абхазы, кабардинцы, адыгейцы, абазины и ...
Нахо-дагестанская группа - аварцы, лезгины, чеченцы, ингуши, и ...
ДАЛЕЕ-СЛОЖНЕЕ
Картвельская группа - грузины.. . Кто-то пытался доказать их родство с басками в Испании.
Пока не доказали, значит, баски - отдельная группа, басконская.
Романская, италийская, кельтская, анголкинская (в Америке) , банту (в Африке) , чсрпывычсиычвкицукйисмзюйская (в правом притоке левого устья Амазонки)) )
Так же, отдельные группы составляют отдельные народы - греки, армяне, корейцы, японцы и т. д.
Группы делятся на подгруппы (Восточные славяне, Западные и т. д. ; Финно-угорская группа - финская подгруппа -финны, эстонцы, марийцы, карелы, удмурты, ингенмарландцы и т. д. , плюс угры - ханты, манси, и даже венгры! )
Группы обьединяются в языковые ветви и семьи. Мы, славяне, оказывается, родственники (по языку) германцам, балтам, иранцам, индийцам, романской группе, грекам, албанцам, армянам, италикам, кельтам (АРИЙСКАЯ - ИНДО, ЕВРОПЕЙСКАЯ СЕМЬЯ) А эстонцы не родственники латышам и нам, они в УРАЛЬСКОЙ СЕМЬЕ - мордва, коми, ненцы, саами. Чукчи в ПАЛЕОАЗИАТСКОЙ СЕМЬЕ. Языковых семей немного - основных около десятка, плюс двести экзотических и малочисленных. Их число нельзя назвать точно из-за отдельных загадочных народов,
типа шумеров, для которых некоторые ученые придумывают отдельные семьи. Кстати, в группы объединяют ВСЕ языки, даже вымершие. Вот вам и пруссы, латгалы - балтийсая группа,
умбры, самниты, лигуры, галлы, фракийцы, кельтиберы, нумидийцы, ликийцы, этруски, финикийцы, гунны, инки, др. египтяне, эфиопы, сирийцы,. . хрен, знает, кто еще!
Семьи объединяют в макросемьи. Тут нас ждут сюрпризы. Из-за лингвистических заморочек возникают приколы типа "Сино-кавказской макросемьи". :)))
Короче, кто-то вычислил, что грузины и китайцы дальние родственники, только делают вид, что друг-друга не знают)) )
Чтобы запутать студентов и преподов, наши вредные народы еще занимались ассимиляцией генофонда, взаимствованием и синтезом языков. Тут вообще каша. Например, румынский и венгерский содержат очень много славянских черт. Есть так называемые пиджины - смешение английского с малайским или норвежского с русским (появлялись в тех местах, где разные народы торговали и взаимодействовали, чтобы облегчить общение)
КОРОЧЕ, ОФИЦИАЛЬНО ТОЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО ЯЗЫКОВЫХ ГРУПП НЕ ОПРЕДЕЛЕНО. Навскидку - семьсот двадцать три, плюс-минус сто сорок восемь! )
З. Ы. Ошибка отвечающих - индоевропейцы и финно-угры - это не группы, а СЕМЬИ групп! "Англо-сакской" группы нет и не было. Были англо-саксы, т. е. англичане - продукт переселения и ассимиляции германских племен англов и саксов на кельтском (бриттском) субстрате Британских островов с последующим влиянием норманнсих завоевателей (Легенды о короле Артуре - еще как, бы кельтские традиции, а рыцарь Айвенго - времена поглощения англо-саксами хозяев-норманов)
к

Индоевропе́йские языки́ — самая распространённая в мире языковая семья
Индоевропейская семья включает романскую, германскую, кельтскую, балтийскую, славянскую, тохарскую, индийскую, иранскую, армянскую, анатолийскую (хетто-лувийскую) , греческую, албанскую и италийскую языковые группы. При этом анатолийская, тохарская и италийская группы представлены лишь мёртвыми языками.

Основными верхними уровнями (таксонами) систематики являются: семья, ветвь, группа. При необходимости число таксонов может увеличиваться за счет прибавления приставок над- и под-; например: подсемья, надгруппа. Окказионально может также использоваться термин зона
1.Евразия: всего 21 семья, 4 изолята и 12 неклассифицированных языков.
2.Африка и Юго-западная Азия: всего 28 семей, 10 изолятов и 10 неклассифицированных языков.
3.Океания: «папуасские» и австралийские языки. Всего 100 семей и 32 изолированных языка.
4.Северная Америка (в том числе Месоамерика) : всего 42 семьи, 28 изолятов и 6 неклассифицированных языков.
5.Южная Америка: по последним сведением выделяется 55 семей, 43 изолированных и 77 неклассифицированных языков.

финно-угорская, англо-саксская, индоевропейская, романская, их много не могу всё вспомнить

А еще дофига. Посмотри в Википедии, их сотни.

популярно: все языки делятся на семьи языков, которые в свою очередь делятся на группы, которые в свою очередь на ветви и сами языки. семей - сотни, групп, соответственно - до е*ени)))