почему современники назвали Островского Российским Шекспиром?

Современники называли Островского русским Шекспиром потому что он внёс не меньший вклад в русскую культуру, чем Шекспир в английскую, и нет каждому из них равных в мировой драматургии.
Сравнивая Островского с Шекспиром, можно говорить о совершенности творчества Островского, о мудрости в понимании природы человека, о богатстве человеческих судеб, страстей и характеров, которыми он выявил «особость» русской натуры, может быть, даже больше, чем Шекспир английской.
Можно говорить о нём как о создателе русского национального театра, сравнивая с "театром Шекспира".
Можно говорить об узнаваемости жизненных коллизий (обобранный собственной дочерью купец Большов из "Свои люди - сочтёмся" и шекспировский король Лир, например) .
И не всегда современники "польстить хотели". Вспомните эпиграмму Н. Щербины, рисующую драматурга "квасным патриотом":

"Со взглядом пьяным, взглядом узким, Приобретенным в погребу,
Себя зовет Шекспиром русским Гостинодворский Коцебу. "

Но хорошо известно, что в каждый ответственный исторический период на мировых сценах возобновляются пьесы Шекспира - в их новом прочтении ищут ответы на вечные вопросы жизни. А в России то же самое при таких обстоятельствах происходит с пьесами Островского.

польстить хотели.

в принципе та же тематика! да и нервы потрепать можно!

Остёр шибко был.

Тот и другой писали в жарме "драма", их произведения наполнены трагизмом, похожая философия. Также А. Н. Островский был переводчиком произведений Уильяма Шекспира.