Есть ли в русском языке слову "с ихним"? Например: Веселье ощущалось "с ихним" смехом?

Нет такого слова в русском языке.
Веселье ощущалось благодаря их смеху, только если так, и то не звучит как-то.

И́ХНИЙ, ихняя, ихнее (прост.) . Принадлежащий им; то же, что их во 2 знач. «История любви ихней подвигалась весьма медленно. » Писемский. «Поклажа-то стоит дешевле ихнего проезда.

В русском языке есть местоимение Их.
Ихний, ихняя, ихнее - просторечие и считается ошибкой в грамматике. Причем, с предлогами У, О к этому местоимению прибавляется согласный Н - у Них, у Нее, у Него. В северных диалектах, это местоимение с предлогами У, О может употребляться так же без Н - у их, у её - и это тоже считается грамматической ошибкой.
Как правило, писатель передает этим народный выговор, малограмотность.
В Вашем случае можно написать - С их смехом веселье ощущалось сильнее.

Ежели ещё актуально: всё зависит от того, как и где ты данное слово употребляешь.) Скажу честно: Не Слушай Этих Идъётов, что писали выше!!! Такое Слово Есть в Русском языке! Просто никто из них, похоже, не читал Бунина, Толстого, Чехова, Достоевского, Тургенева и других....
Хмм... Про подобные слова можно действительно долго спорить.))
Хотя на деле всё довольно просто. Наш язык, собственно, как и многие другие мировые языки, является живым - то есть он постоянно меняется (подобно живописи, музыке, рисунку, и т. д.), не латынь.. ^_^ Так например чресла - это половые органы, они же копулятивные; просто некоторые слова - это архаизм, некоторые - профессиональные, а некоторые и жаргонизмы\просторечия. :-)
Ближе к делу: в разговорите (или письме в своей тетради\блоге..) Ты Можешь Использовать Лю~юбые слова - это твоё дело (пусть хоть все эти обыватели тебе с пеной у рта будут доказывать обратное)!!
НО! Вот когда дело доходит до литературного, научного, официального, публицистического или другого стиля речи, тут хочешь-не хочешь придётся использовать строго регламентированные нормы данного языка (если ты конечно не писатель государственного или мирового уровня)!...
P.S.: Лично я придерживаюсь такого мнения. Хотя, должен признать, - нужно уметь хорошо обращаться со своим языком, но не говорить как принц\король, а как джентльмен\леди!

"с ихним" и "ИХНИЙ" нету, но можно сказать "с их"
Доктор Кто нету такого слова, приведите ссылку!