Откуда пошли фразы: "бог с ним", "чёрт с ним", "пёс с ним"? И почему они так похожи?))

эти идиомы порождены фольклором и бытовым общением в ситуациях, когда человек понимает, что своими силами убедить собеседника или решить проблему он не может и отдает все на волю внешних сил - Бога или дьявола, или из зооморфных или иных воплощений (как в случае с псом). А похожи они в силу использования одного механизма - перекладывания ответственности

Похожи потому что означают одно и тоже, человека надоело уговаривать и воспитывать .

Они похожи, но не полностью синонимичны.
"Бог с ним" - как написал Леонид Тишкин, человек снимает с себя всю ответственность за последующее, предоставляя объект высказывания на волю божью.
"Черт с ним" - это не просто снятие с себя ответственности, но и проклятие в адрес объекта высказывания. Отличается от предыдущего степенью несогласия с объектом высказывания.
"Пес с ним" - очевидный эвфемизм. В позапрошлом веке слово "черт" было частично табуированным, некоторые особо суеверные люди до сих пор опасаются поминать черта, боясь таким образом привлечь его. Поэтому его и заменили на пса.

Если очень грубо: говоря так. человек снимает с себя всякую ответственность за дальнейшее и отдает предмет разговора или собеседника на волю бога, черта или пса, то есть, не зависящих от говорящего сил. Но если серьезно - Вам бы в Лингвистике спросить -наверняка есть нормальные научные исследования на эту тему...

кто как хочет так и называет ни чего особенного одни считают, что бог накажет сильнее чем человек, а другие считают другое)

Лучше Бог, чем чёрт)

потому что они все с ним.

типа как йуг с ним но не очень хамски