Регулярным общественным транспортом придётся ехать через центр Москвы, как минимум с двумя пересадками.
Здесь есть два варианта:
1) более дорогой, но надёжный: поезд "Аэроэкспресс" до Киевского вокзала (300 р. , интервал 1 час) + метро (26 р. , Кольцевая линия) до станции "Павелецкая" + другой "Аэроэкспресс" до аэропорта Домодедово (тоже 300 р. , интервал от 30 мин до 1 ч) ;
2) более дешёвый: автобус 611э (28 р. ) или маршрутка № 45 (100 р. ) до метро "Юго-Западная" + метро до станции "Домодедовская" (26 р. , с одной или двумя пересадками, см. интерактивную карту метро metromap.ru) + автобус или маршрутка № 308 до аэропорта Домодедово (тариф 100 р. , ходят часто) .
Но есть и компромиссный вариант - комбинированный. Дело в том, что от Внуково в любом случае лучше ехать на "Аэроэкспрессе" (если только прилетаете не ночью) , ибо по направлению к Москве на автодорогах нередки пробки (а именно, на Киевском шоссе и на проспекте Вернадского, по которым проходит маршрут автобуса) . В направлении же от центра Москвы (конкретно нас интересует трасса на аэропорт Домодедово) пробок, как правило нет.
Итак, от Внуково едем аэроэкспрессом до Киевского вокзала, садимся в метро на Кольцевую линию, на станции "Павелецкая" пересаживаемся на радиальную (Замоскворецкую="зелёную") линию и едем до станции "Домодедовская", где выходим по указателям на Каширское шоссе, к пункту посадки на автобусы и маршрутки № 308 до аэропорта Домодедово.

Удачной поездки!
На всякий случай, вот ссылка на расписания "Аэроэкспрессов" http://aeroexpress.ru/# и на расписание автобуса-экспресса № 308 до аэропорта Домодедово http://mostransavto.ru/?page=rasp&code=490766137&ak=8&n=308&com=1