МАТЕМАТИКА. Каким образом можно решить уравнение высших степеней?

Аналитических способов решения может просто не существовать.
Если нужны корни, то есть хороший сайт:

https://www.wolframalpha.com/input/

Вводишь уравнение и получаешь решение
(x^7)+(10x^5)-(90x^3)+x=0
Пять действительных и два мнимых корня

зачем вы валите в кучу все непонятные вам слова?

решайте численно...

На ваши примеры забью - в первом, например, очевидный корень ноль, понижаем степень уравнения, после чего заменой x^2 = y понижаем степень еще в два раза. Вряд ли вы специально такой пример подобрали.

В общем случае полезно знать теорему Безу, основную теорему алгебры.

Уравнения третей степени и выше уже зачастую _удобно_ в общем случае решать численно, а не по формулам Кардано/Феррари.
Уравнения пятой степени и выше в общем случае в радикалах неразрешимы (теорема Абеля-Руффини, значительная часть док-ва спрятана за теорией Галуа и относится к теории групп). Какие-то частные случаи в радикалах разрешимы, например, уравнение x^100500 = 1.

Если вас интересуют только рациональные корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, поможет теорема о рациональных корнях таковых.

Как тут могут помочь производные, навскиду не знаю... Ну, может, в численных методах могут помочь, либо для поиска каких-нибудь кратных корней они могут пригодиться, корень кратности n+1 многочлена P(x) является так же и корнем всех его производных до n-ой включительно, ну а НОД многочленов можно тупо алгоритмом Евклида найти.

Вам про теорему Безу уже написали. Посмотрите еще схему Горнера. Уравнение высших степеней начиная с 4-й, общих способов решения не имеют. Приходится подбирать корни и делить многочлен на многочлен снижая степени уравнений.