Решите уравнение: Сколько есть решений уравнения x + y + z = 100 в натуральных числах от 1 до 60?

1 + 1 + 98 = 100 не прокатит, так как третье число может быть не более 60.
Но тогда сумма первых двух должна быть не менее 40.
60 + 60 + (−20) = 100 — тоже не прокатит. Мы не можем уменьшить третье число ниже 1. Поэтому для соблюдения равенства сумма первых двух чисел должна быть не более 99.

Итак, сумма первых двух чисел (x + y) — это число от 40 до 99 включительно.

Сколько мы знаем пар чисел x и y от 1 до 60, у которых сумма равна 40?
1 + 39 = 40
2 + 38 = 40
3 + 37 = 40
…
39 + 1 = 40
Всего 39 вариантов.

А для суммы 41?
1 + 40 = 41
2 + 39 = 41
…
40 + 1 = 41
Всего 40 вариантов.

То же самое справедливо для сумм x + y = 42, 43, …, 60, 61: вариантов всегда на 1 меньше, чем значение суммы.

Таким образом, для сумм от 40 до 61 число вариантов равно сумме чисел от 39 до 60. Это арифметическая прогрессия, в которой нас интересует сумма 22 элементов.
a1 = 39, a2 = 40, …, a22 = 60

Сумма прогрессии считается по формуле:
S22 = (a1 + a22) • 22 / 2 = (39 + 60) • 22 / 2 = 99 • 11 = 1089

Итак, для сумм от 40 до 61 есть 1089 разных решений.

А что дальше? Дальше интереснее: ведь для суммы 62 мы не можем взять слагаемое 1.
1 + 61 = 62 — не катит, потому что мы можем использовать только числа от 1 до 60.
Поэтому придется начать не с 1, а с 2.

2 + 60 = 62
3 + 59 = 62
…
60 + 2 = 62

Всего 59 вариантов.

А что для суммы 63?
3 + 60 = 63
4 + 59 = 63
…
60 + 3 = 63

Всего 58 вариантов.

Такая тенденция сохранится и для сумм x + y = 64, 65, 66, …, 100: для каждой следующей суммы будет на 1 вариант меньше.

Таким образом, для сумм 62…100 число вариантов будет иметь вид еще одной арифметической прогрессии — из 39 элементов:
b1 = 59, b2 = 58, …, b39 = 21

Чтобы посчитать сумму этих вариантов, снова прибегнем к формуле:
S39 = (b1 + b39) • 39 / 2 = (59 + 21) • 39 / 2 = 80 • 39 / 2 = 40 • 39 = 1560

Итак, S22 = 1089 — число решений для x + y от 40 до 61;
S39 = 1560 число решений для x + y от 62 до 100.

А для всех возможных x + y от 40 до 100 число решений равно
S = 1089 + 1560 = … (осталось сложить)

25+25 +50