Какое наименьшее значение может принимать выражение 4x^2y^2+x^2+y^2-2xy+x+y+1 при действительных числах x и y...

Благо задание лёгкое и у меня как раз есть время написать более "широкое" решение, элегантное находится выше. Первое, что нужно сделать, это изучить каждую из частей функции и посмотреть, есть ли какая-либо симметрия по отношению к переменным.

Каждый член, который является произведением некоторого количества x^2 и y^2, всегда положителен. Это оставляет члены -2xy,x,y, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Это полностью зависит от того, в каком квадранте мы находимся. С помощью некоторой алгебры мы можем "поглотить" этот -2xy.

x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=(y-x)^2≥0. Затем мы видим, что если мы поменяем местами x,y, это ничего не изменит. Если минимизатор существует, то его отражение над y=x также является минимизатором. Если минимизатор уникален, он лежит на этой диагональной прямой.

Ясно, что функция расходится до ∞, когда x,y слишком велики по величине. Тогда минимизатор существует где-то недалеко от точки (0,0), где f(0,0)=1 и где оба x,y<0.

На этом этапе мы понимаем, что использование мат. анализа для нахождения минимизаторов будет хорошей идеей. Давайте найдем стационарные точки, которые могут быть минимизатором, найдя, где градиент равен нулю. (смотрим скрин).

Используя симметрию, видим что второе уравнение - это просто первое с поменянными x,y, мы знаем, что они пересекаются там, где x=y. (смотрим 2-ой скрин).

Итак, минимизатор находится в точке 1/2(-1,-1). Он единственный на диагональной линии.

Есть ли другие минимайзеры? Нет, их не может быть. Мы работаем с симметричными уравнениями второго порядка, и если бы были решения вне диагонали, они были бы парными, так что у нас было бы три минимизатора. Итак, у нас есть уникальный минимайзер.

Чтобы получить значение функции, мы подставляем его в f(x,y).

f(-1/2,-1/2)=4/4*1/4-1/2-1/2+1=1/4.

Выделением полных квадратов можно привести к виду
(2ху-1/2)^2 + (х+1/2)^2 + (у+1/2)^2 + 1/4.
Наименьшее значение = 1/4 достигается для х=у=-1/2.

Вроде 0,25