Вычислить площадь области D заданной кривыми: x^2+y^2-6y=0 и x^2+y^2-8y=0; y=x, x=0

Ответ

Вот мне больше заняться нечем

Это он и без тебя знает, советчик хренов
Ты когда, быдло, полностью будешь отвечать)))

Графики нарисуй для начала и пойми, как расставлять пределы интегрирования.

Для начала найдем точки пересечения кривых x^2+y^2-6y=0 и x^2+y^2-8y=0. Для этого вычтем одно уравнение из другого:

(8y - 6y) = 2y
y = 1

Теперь подставим значение y в одно из уравнений, чтобы найти значение x:

x^2 + (1)^2 - 6(1) = 0
x^2 + 1 - 6 = 0
x^2 - 5 = 0
x = ±√5

Таким образом, точки пересечения кривых имеют координаты (-√5, 1) и (√5, 1).

Теперь найдем точки пересечения каждой из окружностей с прямыми y = x и x = 0.

Пересечение первой окружности (x^2 + y^2 - 6y = 0) с прямой y = x:
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: x^2 + x^2 - 6x = 0
2x^2 - 6x = 0
x(2x - 6) = 0

x = 0, x = 3
y = 0, y = 3

Точки пересечения первой окружности с прямыми имеют координаты (0, 0) и (3, 3).

Пересечение второй окружности (x^2 + y^2 - 8y = 0) с прямой y = x:
Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: x^2 + x^2 - 8x = 0
2x^2 - 8x = 0
x(2x - 8) = 0

x = 0, x = 4
y = 0, y = 4

Точки пересечения второй окружности с прямыми имеют координаты (0, 0) и (4, 4).

Теперь у нас есть все точки, определяющие границы области D:

A(0, 0) — пересечение обеих окружностей с прямой x = 0;
B(-√5, 1) — пересечение первой окружности с прямой y = x;
C(3, 3) — пересечение первой окружности с второй окружностью;
D(4, 4) — пересечение второй окружности с прямой y = x.
Чтобы вычислить площадь области D, найдем площадь треугольника ABD и вычтем из нее площадь треугольника ABC.
Площадь треугольника ABD = (1/2) * |AD| * |BD| * sin(∠ADB)

Длины сторон треугольника ABD:
|AD| = √((4 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √(16 + 16) = 4√2
|BD| = √((4 - (-√5))^2 + (4 - 1)^2) = √(9 + 16 + 10√5) ≈ 5.70
|AB| = √((0 - (-√5))^2 + (0 - 1)^2) = √(5 + 1) = √6

Для вычисления угла ∠ADB используем закон косинусов:
cos(∠ADB) = (|AB|^2 + |BD|^2 - |AD|^2) / (2 * |AB| * |BD|)
cos(∠ADB) ≈ (6 + 32.49 - 32) / (2 * √6 * 5.70) ≈ 0.5

∠ADB ≈ 60° или π/3 радиан

Теперь найдем sin(∠ADB):
sin(∠ADB) = sin(π/3) = √3/2

Площадь треугольника ABD ≈ (1/2) * 4√2 * 5.70 * (√3/2) ≈ 9.86

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Так как треугольник ABC прямоугольный (угол BAC = 90°), площадь его равна:
Площадь треугольника ABC = (1/2) * |AC| * |BC|

Длины сторон треугольника ABC:
|AC| = √((3 - 0)^2 + (3 - 0)^2) = √(9 + 9) = 3√2
|BC| = √((3 - (-√5))^2 + (3 - 1)^2) = √(4 + 9 + 6√5) ≈ 4.04

Площадь треугольника ABC ≈ (1/2) * 3√2 * 4.04 ≈ 5.74

Теперь вычтем площадь треугольника ABC из площади треугольника ABD, чтобы получить площадь области D:
Площадь области D ≈ 9.86 - 5.74 ≈ 4.12

Таким образом, площадь области D составляет примерно 4.12 квадратных единиц.