При каких значениях параметра a решения системы уравн ений x+ay=3 ax+4y=6 находятся вне окружности x^2+y^2=1

Просто начинаем решать, будто просто пытаемся найти x, y.
x +a y = 3
a x + 4 y = 6
Из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a:
(4 - a^2) y = 3 (2 - a)
Сразу видим два "особенных" значения a.
-
(1) a = 2.
Вернемся для этого значения a к самой системе:
x + 2 y = 3
2 x + 4 y = 6
Видно, что это одинаковые уравнения (второе получается из первого умножением на 2). Тогда решения - все точки прямой:
x + 2 y = 3
Мы хотим, чтобы:
x^2 + y^2 > 1
Посдтавим сюда, соответствующие найденному решению:
[3 - 2 y]^2 + y^2 > 1
или:
5 y^2 - 12 y + 8 > 0
Очевивдно, что неравенство выполняется при любых y. Это значит, что всек решения:
x + 2 y = 3 лежат вне окружности и подходят нам. Значит a = 2 пойет в ответ.
-
(2) a = - 2.
Вернемся к исходной системе при a = - 2:
x - 2 y = 3
- 2 x + 4 y = 6
Или (если второе уравнение разделить на - 2):
x - 2 y = 3
x - 2 y = - 3
Очевидно, система не имеет решений.
-
(3) Теперь можем без опасений рассматривать для всех остальных a. Вернемся к:
(4 - a^2) y = 3 (2 - a)
(2 - a) не равно нулю. Сокращаем, выражаем y:
y = 3 / (2 + a).
Подставляем в любое из исходных уравнений (например, в первое):
x + 3 a / (2 + a) = 3
Выражаем x:
x = 6 / (2 + a)
Получаем решение для всех a не равных 2 и -2:
x = 6 / (2 + a)
y = 3 / (2 + a)
Проверяем, для каких a выполняется условие:
x^2 + y^2 > 1
Подставляем в него решения:
[6 / (2 + a)]^2 + [3 / (2 + a)]^2 > 1
Причесываем:
(2 + a)^2 < 45
Еще причесываем:
- sqrt(45) < a + 2 < sqrt(45)
Получаем:
- 2 - sqrt(45) < a < - 2 + sqrt(45)
Можно записывать ответ:
(- 2 - sqrt(45) < a < - 2) и (- 2 < a < - 2 + sqrt(45))