КАК ЭТО МОЖНО РЕШИТЬ?! ПОЖАЛУЙСТА!!! Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения x^2+2y^2, если x^2-xy+2y^2=1

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений а, при которых система:
{ x^2+2y^2=a,
{ x^2-xy+2y^2=1
имеет решение.
Умножим второе уравнение на а и вычтем первое, получим:
(a-1)x^2-axy+(2a-2)y^2=0.
Разделив это уравнение на y^2 (y не=0), получим квадратное уравнение относительно t=x/y:
(a-1)t^2-at+2a-2=0.
Уравнение имеет решение, если D>=0:
D=a^2-4(a-1)(2a-2)>=0
7a^2-16a+8 <= 0
1/7(8-2√2) <= a <= 1/7(8+2√2).
Ответ: Наибольшее значение x^2+2y^2 при условии, что x^2-xy+2y^2=1, равно 1/7(8+2√2), а наименьшее 1/7(8-2√2).

1. L = x²+2y²+λ·(x²+2y²-xy-1)
δL/δx = 2·(1+λ)·x - λ·y = 0
δL/δy = -λ·x + 2·(1+λ)·y = 0
δL/δλ = x² + 2y² - xy - 1 = 0
2. Одно решение системы уравнений находится сразу: (0, 0, 0). В нём х, у, множитель Лагранжа и значение выражения х²+2у² - нули. Найдём ненулевые значения множителей Лагранжа. При λ≠0 однородная система двух линейных относительно х и у уравнений имеет ненулевое решение лишь при нулевом детерминанте:
D = 4·(1+λ)² - λ² = 3λ² + 8λ + 4 = 0
λ = -2, - ⅔.
3. Находим х и у, не равные одновременно нулю, решая СЛАУ с полученными значениями λ.
При λ=-2:
-2x + 2y = 0
2х - 2y = 0
Решение системы y=x.
При λ=-⅔:
⅔·x + ⅔·y = 0
⅔·x + ⅔·y = 0
Решение системы у=-х.
4. Подставляя решения систем в последнее уравнение x²+2y²-xy-1=0 находим, что при y=x значение переменной х должно быть ±1/√2, а при у=-х значение переменной х=±½. Итак, у нас получается пять пар:
(0,0), (-1/√2,-1/√2), (1/√2,1/√2), (-½,½), (½,-½).
x²+2y²=1+xy
(0,0) » 1
(-1/√2,-1/√2) » 1½
(1/√2,1/√2) » 1½
(-½,½) » ¾
(½,-½) » ¾
Ответ: Наибольшее значения выражения 1½ (полтора), а наименьшее ¾ (три четвёртых).

Это тема - Условный экстремум. Один из наиболее распространенных методов решения задач на условный экстремум - метод множителей Лагранжа. Хорошо объяснено как им пользоваться на сайте Mathprofi