Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение выражения достигается ровно в одной точке

Если обозначить данное выражение как f(x), то
f(x) = I√(x - 1) - 2aI + I√(x - 1) - a - 1I.
Положим для простоты y = √(x - 1) ≥ 0. Тогда f(x) = f(y^2 + 1) = g(y) = Iy - 2aI + Iy - a - 1I.
Теперь формулировка такая: найти все значения параметра а, при которых наименьшее значение выражения g(y) на множестве у ≥ 0 достигается ровно при одном значении у. Рассмотрим различные случаи.
1. Пусть а ≤ -1. Тогда, с учетом у ≥ 0, g(y) = 2у - 3а - 1. Ясно, что наименьшее значение достигается лишь при у = 0. Значит, а ≤ -1 все подходят.
2. Пусть -1 < a < 0. В этом случае наименьшее значение достигается в точках 0 ≤ у ≤ 1 + а, то есть, на целом отрезке (лучше всего это видно по графику). Эти значения не подходят.
3. Пусть а = 0 => g(y) = y + Iy - 1I. Наименьшее значение достигается на отрезке [0;1]. Поэтому, а = 0 не подходит.
4. Если 0 < a < 1, то наименьшее значение достигается на отрезке [2a ; a + 1].
Не подходит.
5. При а > 1 наименьшее значение достигается на отрезке [a + 1 ; 2a].
6, Если же а = 1, то g(y) = 2Iy - 2I и наименьшее значение достигается при у = 2.
Ответ: при а ≤ -1 или а = 1.