Наименьшее значение функции. Как найти?

Перед нами функция f(x) одного вещественного переменного, только заданная чуть менее красиво, чем обычно. Тем не менее, алгоритм поиска экстремума один и тот же: находим критические точки -- решения уравнения f'(x) = 0, проверяем либо знак f'(x) в их окрестностях, либо знаки f''(x) в самих точках и делаем вывод.

1. Производную f'(x) будем искать, например, с помощью формулы производной сложной функции: сначала продифференцируем f по e^x, а потом результат умножим на d(e^x) / dx = e^x (см. картинку).
2. Составляем и решаем уравнение f'(x) = 0. Как показывают первая и вторая строки на картинке, это уравнение эквивалентно e^x = 2, то есть x = ln 2.
3. Слева от x = ln 2 производная f'(x) < 0, а справа от x = ln 2 производная f'(x) > 0. Это означает, что до x = ln 2 функция f(x) убывала, а после -- стала возрастать. Получается, x = ln 2 -- точка минимума.

В точке t = 2 подынтегральное выражение меняет знак с - на +, ln 2 в ответе выше - это очевидный argmin, т.е. точка, в которой функция достигает наименьшее значение, а само наименьшее значение функции равно, очевидно,

интегралу от 0 до 2 от dt(t^4 - 16)/(t + 1)
, т.е. 4/3 - 15ln(3) должно у тебя получиться.

Интегрировать дробно-рациональные функции умеешь? Они ж весьма стандартным способом интегрируются.