Найдите промежутки возрастания и убывания функции точки экстремума и начертите эскиз графика функции

y = x^3+3*x^2-2

Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3·x2+6·x
или
f'(x)=3·x·(x+2)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x·(x+2) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -2
(-∞ ;-2) -> f'(x) > 0 - функция возрастает
(-2; 0) -> f'(x) < 0 - функция убывает
(0; +∞) -> f'(x) > 0 - функция возрастает
В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума.
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.

Рассчитываем точки экстремума.
Находим первую производную функции:
y' = 3·x2+6·x
или
y' = 3·x·(x+2)
Приравниваем ее к нулю:
3·x2+6·x = 0
x1 = 0
x2 = -2
Вычисляем значения функции:
f(0) = -2
f(-2) = 2
Ответ:
fmin = -2, fmax = 2
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6·x+6
Вычисляем:
y''(0) = 6>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y''(-2) = -6<0 - значит точка x = -2 точка максимума функции.

По интервалам возрастания и убывания соответственно и эскиз рисуем. Думаю, что с этим ты уже справишься.

"Лучший ответ" уже есть, но всё же правильный ответ тоже не помешает:
1) Сначала определяется гладкость функции: так как это полиномиальная функция, то она, естественно, гладкая, а поэтому и дифференцируема во всей области её определения D(y)=R=(-∞;+∞). А, например, функция y=|x|, имеющая минимум в точке х=0, в этой точке недифференцируема и поэтому её минимальное значение искать при помощи производной бесполезно!
y'=(x³+3x²-2)'=3x²+6x=3x•(x+2).
2) Затем определяются критические точки и промежутки положительности и отрицательности производной.
y'=3x•(x+2)=0, критическими (стационарными) точками являются х=-2 и х=0.
y'<0 при х∈(-2;0), у'>0 при х∈(-∞;-2)U(0;+∞).
В стационарной точке х=-2 возрастание функции сменяется на её убывание, поэтому это точка максимума с координатами (-2;2). В точке х=0 убывание сменяется на возрастание, поэтому это точка минимума с координатами (0;-2). Итак, обе стационарные точки оказались экстремальными, а, например, у функции у=х³ критическая точка х=0, в которой производная равна нулю, не экстремальна!
3) И наконец промежутки возрастания и убывания (а не строгого возрастания и строгого убывания!) функции в данном случае не совпадают с промежутками положительности и отрицательности производной, так как экстремальные точки принято включать в промежутки монотонности. Поэтому промежутком убывания будет [-2;0], а не (-2;0), а промежутками возрастания (-∞;-2] и [0;+∞), а вовсе не (-∞;-2) и (0;+∞).

Слушаюсь и повенуюсь

228

Че еше сделать?

1