Помогите пожалуйста найдите промежутки монотонности и экстремумы функции f(x)=x/x^2+64

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции f(x) = x/(x^2 + 64) необходимо вычислить ее производную:

f(x) = x/(x^2 + 64)
f'(x) = (x^2 + 64 - x(2x))/(x^2 + 64)^2
f'(x) = (64 - x^2)/(x^2 + 64)^2

Промежутки монотонности и экстремумы зависят от знака производной.

Промежутки монотонности
f'(x) = 0 при x = ±8. Эти точки являются точками перегиба.

Для x < -8 f'(x) < 0, следовательно, функция f(x) монотонно убывает на (-∞, -8).

Для -8 < x < 8 f'(x) > 0, следовательно, функция f(x) монотонно возрастает на (-8, 8).

Для x > 8 f'(x) < 0, следовательно, функция f(x) монотонно убывает на (8, +∞).

Экстремумы
Точки перегиба x = ±8 не являются экстремумами, так как функция не меняет свой знак в этих точках.

Чтобы найти экстремумы, нужно рассмотреть поведение производной на каждом из интервалов, на которых она сохраняет свой знак.

На интервале (-∞, -8) производная f'(x) < 0, что означает, что функция f(x) на этом интервале монотонно убывает и имеет максимум в точке x = -∞.

На интервале (8, +∞) производная f'(x) < 0, что означает, что функция f(x) на этом интервале монотонно убывает и имеет максимум в точке x = +∞.

Следовательно, функция f(x) имеет максимумы в точках x = -∞ и x = +∞.

Нужно найти производную этой функции и определить иксы, при которых производная равна нулю. Эти иксы будут точками экстремума, а значения функции в этих точках - это сами экстремумы, которые вам нужно найти.

Для нахождения производной вам подойдет формула производной частного:
(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

В вашем случае
u = x;
u' = 1;
v = x^2 + 64;
v' = 2x.
Просто подставьте эти значения в формулу производной частного, и вы получите производную вашей функции.

Промежутки монотонности лежат:

• от минус бесконечности до первой точки экстремума;
• между соседними точками экстремума;
• от последней точки экстремума до плюс бесконечности.

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на заданном промежутке монотонности, выберите на этом промежутке любой икс и посчитайте производную функции для этого икса. Если производная > 0, то функция возрастает, а если < 0 - убывает.