Помогите пожалуйста найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ: Тебе нужна область ПОД описанной кривой, но выше оси абсцисс. Об этом следует упомянуть, данные границы дают нам небольшой отрезок линии гиперэллипса.

Я считаю, что если ты посмотришь на более симметричную версию, которую мы называем Астроидами.

Если бы у нас было соответствие коэффициентов, то у нас была бы форма астроиды, но у нас есть только 1/8 формы (от 0 до π/4 против 0 до 2π)

Когда мы имеем x(t)=acos^3(t) и y(t)=asin^3(t)

Используемое декартово уравнение: x^(2/3) + y^(2/3)=a^2/3.

Графики: https://www.desmos.com/calculator/oip0ws1wbs?lang=ru

Но у нас здесь

x(t)=acos^3(t) и y(t)=bcos^3(t)

Так же, как и в случае с коническим сечением, давай немного подправим нашу параметризацию, но также будем использовать то, что мы знаем из геометрии кругов, «сплющенных» в эллипсы.

х^2 + у^2 = а^2

- это круг радиуса a, но когда у нас есть радиус и «сорадиус», мы получаем эллипс:

(x/a)^2+(y/b)^2=1

Где «a» можно представить как «радиус x», а «b» - как «радиус y». В моем воображении эти два значения больше похожи на ± a и ± b чтобы оно дало нам «+ -высоту и + -ширину» нашего эллипса.

Итак, давай объединим их вместе, нашу кривую Астроида с модификациями эллипса, чтобы, может быть, получился «гипер-гиперэллипс»? (Я не знаю, есть ли у этого раздавленного Астроид конкретное имя, но я просто продолжу использовать Астроид)

Итак, декартово уравнение, которое нам понадобится для построения нашей параметрической формы, выглядит следующим образом:

(x/(5√2))^2/3+(y/(3√2))^2/3=1
Desmos для визуальной проверки, чтобы убедиться, что мы не лаем не на то дерево:
https://www.desmos.com/calculator/pj9dxjb8q5?lang=ru

Далее все, что нам осталось, это найти наши границы и решить декартово уравнение для y, следя за тем, чтобы мы придерживались квадранта 1, или мы просто изменим наши границы, если мы случайно решим для руки QII, руки QIII или руки QIV ( у нас будет 2 уравнения x, одно для верхней половины, одно для нижней половины, когда мы закончим, поскольку, очевидно, эта форма не является функцией, не проходит проверку вертикальной линии, но это как минимум 2 функции, склеенные вместе)

Поскольку я нахожу область под маленьким кусочком, описанным тобой, и над осью x, нам нужны границы x, если ты хочешь, чтобы область между нашей формой и осью y, просто реши здесь границы y, а затем реши приведенное выше уравнение для x. Мы будем решать для y выше.

x(0)=5√2
х (π/4)=5/2

Мы могли бы использовать технологию сейчас, чтобы ввести наше отношение в систему CAS и заставить ее вычислить площадь между кривой и осью x.

Но возьмите вышеприведенное уравнение и решите относительно y.
y=±(3√2)(1−(x/(5√2))^2/3)^3/2
Desmos: https://www.desmos.com/calculator/1sdgbwfdkn?lang=ru

Нам нужна верхняя часть, поскольку с учетом наших параметрических уравнений фигура тянется от правой стороны вверх, затем через левую, затем вниз и, наконец, обратно на правую сторону. Верхняя часть

f(x)=(3√2)(1−(x/(5√2))^2/3)^3/2

См. фото. Дальше самостоятельно.