Найдите интервалы монотонности функции f(x)= 3x^2-5x^3

Кратко, чтобы установить истину)

y' =6x ,-15x^2= 3x(2- 5x)
x= 0; x= 0,4

____-_0_____+__0,4_-_y'
На [0; 0,4] - возрастает,
на каждом из (- беск.; 0]; [0,4; + беск.) - убывает.

Речь а задании идёт об интервалах = > все скобки круглые?
(0; 0,4)
(-беск; 0);(0,4; + беск)

Нейросети с заданием справились.

Для нахождения интервалов монотонности функции, нам нужно найти её производную, установить её знак и найти экстремумы.

Производная функции f(x)= 3x^2-5x^3 равна:

f'(x) = 6x - 15x^2

Теперь найдём корни уравнения f'(x) = 0. Они будут соответствовать точкам, в которых функция меняет свою монотонность:

6x - 15x^2 = 0

Вынесем x:

x (6 - 15x) = 0

Итак, у нас есть два корня: x_1 = 0 и x_2 = 6/15 = 0.4.

Теперь нам нужно проверить знак производной на каждом из интервалов (-∞, 0), (0, 0.4), (0.4, +∞) чтобы установить, где функция возрастает, а где убывает.

- f'(x) на интервале (-∞, 0): возьмем любое число из этого интервала, скажем, x=-1. Подставим в производную: f'(-1) = 6*(-1) - 15*(-1)^2 = -6 - 15 = -21, что меньше 0. Значит, функция убывает на интервале (-∞, 0).

- f'(x) на интервале (0, 0.4): возьмем любое число из этого интервала, скажем, x=0.2. Подставим в производную: f'(0.2) = 6*0.2 - 15*0.2^2 = 1.2 - 0.6 = 0.6, что больше 0. Значит, функция возрастает на интервале (0, 0.4).

- f'(x) на интервале (0.4, +∞): возьмем любое число из этого интервала, скажем, x=1. Подставим в производную: f'(1) = 6*1 - 15*1^2 = 6 - 15 = -9, что меньше 0. Значит, функция убывает на интервале (0.4, +∞).

Итак, функция f(x) убывает на интервалах (-∞, 0) и (0.4, +∞), и возрастает на интервале (0, 0.4).

Для начала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 6x -15x^2

Определим знаки производной на интервалах между ее корнями:

1) Если x < 0, то f'(x) < 0, так как 6x < 0, а 15x^2 > 0. Значит, функция f(x) убывает на интервале (-∞, 0).

2) Если 0 < x < 2/5, то f'(x) > 0, так как обе части уравнения 6x - 15x^2 > 0, когда x находится в этом интервале. Значит, функция f(x) возрастает на интервале (0, 2/5).

3) Если x > 2/5, то f'(x) < 0, так как обе части уравнения 6x - 15x^2 < 0, когда x находится в этом интервале. Значит, функция f(x) убывает на интервале (2/5, ∞).

Итак, интервалы монотонности функции f(x) следующие:

(-∞, 0) убывает

(0, 2/5) возрастает

(2/5, ∞) убывает.

Это f’ (x) = 6x - 15x^2