Домашние задания: Математика

Исследуйте функцию монотонности y=x³-3x² Но пожалуйста с решением

Ch M
Ch M
75
Для исследования монотонности функции y = x³ - 3x², нужно вычислить её производную и проанализировать знак производной на различных интервалах.

y = x³ - 3x²
y' = 3x² - 6x

Производная равна нулю, когда 3x² - 6x = 0.
Это уравнение можно решить, используя общую формулу решения квадратного уравнения:
x = (6 ± √36) / 6 = 1 или x = 0.

Теперь проанализируем знак производной на разных интервалах:

Когда x < 0:
y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
Знак производной будет таким же, как знак выражения 3x(x - 2).
Когда x < 0, оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно.
Таким образом, на интервале (-бесконечность, 0) функция y убывает.

Когда 0 < x < 1:
y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
Когда 0 < x < 1, первый множитель положительный, а второй - отрицательный.
Таким образом, произведение отрицательное, и функция y возрастает на этом интервале.

Когда x > 1:
y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
Когда x > 1, оба множителя положительны, поэтому произведение положительное.
Таким образом, на интервале (1, +бесконечность) функция y возрастает.

Таким образом, функция y = x³ - 3x² убывает на интервале (-бесконечность, 0) и возрастает на интервалах (0, 1) и (1, +бесконечность).
Елизавета Александровна
Елизавета Александровна
11 536
Лучший ответ
Хорошо