Как решить в целых числах уравнение x^y = y^x ?

Ясно, что речь здесь идет о натуральных решениях, причем x=/y => можно считать, что y > x > 1. Дале см. фото.

Напрашивается 4 пары ответов:
х1= у1= 0
х2= у2= 1
хз= 2, у3= 4
х4= 4, у4= 2.

ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_xʸ_%3D_yˣ

Довольно просто на самом деле. Для каждого x>0 существует хотя бы одно решение y=x. Если x=1, уравнение принимает вид 1^y=y^1, т. е. y=1 и это единственное решение.
Чтобы увидеть, есть ли другое решение для x<>1, мы можем переписать уравнение, взяв логарифмы, как ylog(x)=xlog(y) или, поскольку x≠1, значит, log(x)≠0.
y/log(y)=x/log(x). Итак, мы хотим найти решения для f(x)=f(y), где f(x)=x/log(x).

Эта функция явно имеет две «ветви»: одна для 0<x<1 и одна для x>1. Если 0<x<1, то
f(x)<0,
f(x) стремится к 0, когда x стремится к 0,
f(x) стремится к -бесконечности, когда x стремится к 1,
f(x) монотонно убывает.

Чтобы доказать последний пункт, обратите внимание, что df/dx=(log(x)-1)/log^2(x), что отрицательно для всех 0<x<1. Это означает, что если 0<x<1, нет другого 0<y<1 такого, что f(y)=f(x), кроме самого x. Поскольку f(y)>0, если y>1, также не существует y>1 такого, что f(y)=f(x). Следовательно, если 0<x<1, единственное решение это x=y.

Теперь, если x>1, ситуация иная. f(x) стремится к +∞, когда x стремится либо к 1, либо к бесконечности и f имеет один минимум при x=e. Чтобы увидеть это снова, df/dx=(log(x)-1)/log^2(x). Таким образом, производная обращается в нуль точно, когда x=e, она отрицательна, когда x меньше e, и положительна, когда x больше e.

Это означает, что, когда x=e, есть ровно одно решение для f(x)=f(y), y=x, но, если x>1 и x<>e, есть два решения, одно из которых y=х.

Если x≠y, то для целых чисел это действительно просто, поскольку мы знаем, что одно из чисел должно быть в (1,e), а в этом интервале есть только одно целое число, а именно 2. Следовательно, единственное целочисленное решение - (2,4) [и, конечно, (4,2)].

Если брать рациональные, то сложность повышается в разы и это уже вряд ли задача школьного уровня.

график данной неявной функции задает:
1) прямую, совпадающую с y = x, на промежутке (0; +inf) (это потому, что в решение данного "уравнения" входят все положительные точки на графике y = x)
2) В случае x не равно y на ум приходят только целые пары (2; 4) и (4; 2).