Помогите решить ОДУ первого порядка: y'+y/x=cos4x

О, дифурчики подоспели.

Попробуем решить заменой переменной:

 dy / dx + y / x = cos 4x

y(x) = t(x) / x 

Тогда:

 y / x = t / x²

dy / dx = dt / (x dx) - t / x²

dy / dx + y / x = dt / (x dx) - t / x² + t / x² = dt / (x dx) 

Видно, что

 dy / dx + y / x = dt / (x dx) 

Т.е. из нашей левой части мы убрали мешающее слагаемое.

Разводим зависимости от t и x по разным частям уравнения.

 dt = x cos 4x dx 

Интегрируем:

 ∫ dt = t + C₁

∫ x cos 4x dx = ? 

Второй интеграл мы можем найти интегрированием частями, пользуясь формулой дифференциала произведения:

 d(uv) = v du + u dv

∫ udv = uv - ∫ vdu 

Примем

 u = x

dv = cos 4x dx 

Тогда

 du = dx

v = sin 4x / 4

∫ x cos 4x dx = x sin 4x / 4 - ∫ sin 4x dx / 4 = x sin 4x / 4 + cos 4x / 16 + C 

Возвращаемся к нашему уравнению

 t = y x = x sin 4x / 4 + cos 4x / 16 + C

y = sin 4x / 4 + cos 4x / (16 x) + C 

 Или так:

    sin 4x   cos 4x

y = ------ + ------ + C

       4      16 x 

 

dy / dx = cos 4x + (-16 · x · 4 · sin 4x - 16 · cos 4x) / (16 · x)² =

        = cos 4x - (4 · x · sin 4x + cos 4x) / (16 · x²) =

        = cos 4x - sin 4x / (4 · x) - cos 4x / (16 · x²)



dy / dx + y / x =

  = (cos 4x - sin 4x / (4 · x) - cos 4x / (16 · x²)) +

           + (sin 4x / (4 · x) + cos 4x / (16 · x²)) =

  = cos 4x