Геометрический смысл градиента функции z=z(x,y)

Если мы имеем некоторую скалярную функцию, определенную, скажем в трехмерном пространстве, f(x,y,z), то мы вправе ввести понятие производной по направлению (в случае функции двух переменных все тоже самое). Что такое производная по направлению, мы задаем некоторое направление (обычно задается вектором, пусть будет вектор L). Можно строго доказать, что производная функции f(x,y,z) по направлению L, представляет собой не что иное как скалярное произведение двух векторов Grad f - вектора, компоненты которого есть частные производные функции f по x, y, z, и вектора L.
Зададим себе вопрос, при каком векторе направления производная по этому направлению будет максимальна (другими словами, в какую сторону необходимо двигать аргумент, чтобы функция изменялась быстрее всего). Известно, что скалярное произведение максимально, когда cos угла между векторами равен 1, а это значит, что вектор L направления должен совпадать с вектором Grad f. Таким образом логичен вывод - вектор градиента есть вектор наибыстрейшего роста функции. Если взять произвольную точку в которой определена функция, то если мы будем двигаться именно по направлению градиента функции в этой точке, функция будет максимально расти.

Почти правильно. Однако, замечу, что из существования в точке производных по ВСЕМ направлениям (а не только по двум, как у Вас) еще не следует, что у функции в этой точке существует градиент - т. е. что она дифференцируема по совокупности переменных.

В учебниках матана обычно в начале параграфа пишут мелким шрифтом "Будем предполагать, что" (и дальше идут необходимые условия дифференцируемости функции по совокупности переменных.
В результате эти условия при переписывании теряются - например, в Вике в статье "Градиент" они потеряны.